На числовой прямой даны два отрезка: P = [21, 71] и Q = [41, 101]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок A, что логическое выражение
¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ P)) ∨ (x ∈ Q)
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [15, 40]
2) [20, 110]
3) [30, 75]
4) [80, 130]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Преобразовав, получаем:
¬(A ∧ P) ∨ Q = ¬A ∨ ¬P ∨ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условие ¬P ∨ Q = 1 истинно на множестве (−∞, 21) ∪ [41, ∞). Поскольку выражение ¬A ∨ ¬P ∨ Q должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинным на полуинтервале [21; 41). Из перечисленных отрезков только отрезок [80, 130] удовлетворяет этому условию.
Правильный ответ указан под номером 4.