На числовой прямой даны два отрезка: Р = [2, 42] и Q = [22, 62]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение
¬(х ∈ A) → ((х ∈ Р) → ¬(х ∈ Q))
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [3,14]
2) [23,32]
3) [43,54]
4) [15,45]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Преобразовав, получаем:
¬A → (¬P ∨ ¬Q) = A ∨ ¬P ∨ ¬Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию ¬P ∨ ¬Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞; 22) и (42; +∞). Поскольку выражение A ∨ ¬P ∨ ¬Q должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на отрезке [22,42].
Из всех заданных отрезков только отрезок [15,45] удовлетворяет этим условиям.