На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 25] и Q = [0, 12]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ∉ А) → (x ∉ P) ) ∨ (x ∈ Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10, 15]
2) [20, 35]
3) [5, 20]
4) [12, 40]
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение.
Введем обозначения:
(x ∉А) ≡ ¬A; (x ∉ P) ≡ ¬P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
A∨ ¬P∨Q
¬P∨Q истинно тогда, когда x∈(– ∞,12);(25,∞). Поскольку все выражение должно быть истинно для ЛЮБОГО x, следовательно, выражение A должно быть истинно на интервале [12;25] или любом другом, который полностью включает этот отрезок.
Из всех отрезков только отрезок [12;40] удовлетворяет этим условиям.
Допустим, промежуток А равен [12;40] как в ответе. Тогда возьмем х=30, получим: ((1->0) или 0)=0. Тут правильный ответ [10;15]. Тогда, исходя из промежутков Р и А, импликация всегда равна 1.
Возьмем x=30, высказывание А — верно, следовательно ¬A НЕ верно.
(0→1) или 0 = 1.