На числовой прямой даны два отрезка: P = [31, 81] и Q = [51, 111].
Выберите такой отрезок A, что формула
((x ∈ А) ∧ (x ∈ P)) → (x ∈ Q)
тождественно истинна, т. е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [24, 49]
2) [29, 90]
3) [45, 120]
4) [91, 140]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Преобразовав, получаем:
(A ∧ P) → Q = ¬(A ∧ P) ∨ Q = ¬A ∨ ¬P ∨ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. ¬P∨Q истинно тогда, когда x∈(– ∞; 31);[51; ∞). Поскольку всё выражение должно быть истинно для ЛЮБОГО x, следовательно, выражение ¬A должно быть истинно на полуинтервале [31; 51) или любом другом, который полностью включает этот полуинтервал, следовательно, отрезок A не должен включать этот интервал.
Правильный ответ указан под номером 4.