На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 10] и Q = [15, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [3, 11]
2) [6, 10]
3) [8, 16]
4) [17, 23]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
¬A ∨ P ∨ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Поскольку все выражение должно быть истинно для любого x, выражение ¬A должно быть истинно на множестве (−∞, 5) ∪ (18, ∞) ∪ [10; 15]. Соответственно, выражение A должно быть истинно внутри отрезков [5; 10] и [15; 18] или любого другого, который полностью включает эти отрезки, но сам не выходит за их пределы.
Из всех отрезков только отрезок [6, 10] удовлетворяет этим условиям.
Ответ: 2.