На числовой прямой даны два отрезка: P = [31, 81] и Q = [51, 111]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок A, что логическое выражение
¬((x ∈ Q) ∧ (x ∈ P)) ∨ (x ∈ A)
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [25, 75]
2) [55, 100]
3) [48, 90]
4) [83, 130]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Преобразовав, получаем:
¬(Q ∧ P) ∨ A = ¬Q ∨ ¬ P ∨ A.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условие ¬Q ∨ ¬P = 1 истинно на множестве (−∞, 51) ∪ (81, ∞). Поскольку выражение ¬Q ∨ ¬P ∨ A должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинным на отрезке [51, 81]. Из перечисленных отрезков только отрезок [48, 90] удовлетворяет этому условию.
Правильный ответ указан под номером 3.