На числовой прямой даны два отрезка: Р = [1, 39] и Q = [23, 58]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение
((х ∈ P) → (х ∈ Q)) → ¬(х ∈ A)
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [5,20]
2) [25,35]
3) [40,55]
4) [20,40]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Преобразовав, получаем:
(¬P ∨ Q) → ¬A = P ∧ ¬Q ∨ ¬A.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию P ∧ ¬Q = 1 удовлетворяет полуинтервал [1;23). Поскольку выражение P ∧ ¬Q ∨ ¬A должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на лучах (−∞; 1) и [23; +∞). Таким образом, выражение A должно быть истинно внутри полуинтервала [1; 23).
Из всех заданных отрезков только отрезок [5,20] удовлетворяет этим условиям.