На числовой прямой даны два отрезка: P = [22, 72] и Q = [42, 102]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок A, что логическое выражение
¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ Q)) ∨ (x ∈ P)
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [15, 50]
2) [24, 80]
3) [35, 75]
4) [55, 100]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Преобразовав, получаем:
¬(A ∧ Q) ∨ P = ¬A ∨ ¬Q ∨ P.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условие ¬Q ∨ P = 1 истинно на множестве (−∞, 72] ∪ (102, ∞). Поскольку выражение ¬A ∨ ¬Q ∨ P должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинным на полуинтервале [72; 102). Из перечисленных отрезков только отрезок [15, 50] удовлетворяет этому условию.
Правильный ответ указан под номером 1.