На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [12, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [3, 11]
2) [2, 21]
3) [10, 17]
4) [15, 20]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
¬A ∨ P ∨ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Выражение P ∨ Q истинно на отрезке [5; 18]. Поскольку все выражение должно быть истинно для любого x, выражение ¬A должно быть истинно на множестве (−∞, 5) ∪ (18, ∞). Соответственно, выражение A должно быть истинно только внутри отрезка [5;18].
Из всех отрезков только отрезок [10, 17] полностью лежит внутри отрезка [5;18].
Правильный ответ указан под номером 3.