На числовой прямой даны два отрезка: Р = [2, 42] и Q = [22, 62]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение
((х ∈ P) → ¬(х ∈ Q)) → ¬(х ∈ A)
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [3,14]
2) [23,32]
3) [43,54]
4) [15,45]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Преобразовав, получаем:
(¬P ∨ ¬Q) → ¬A = P ∧ Q ∨ ¬A.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию P ∧ Q = 1 удовлетворяет отрезок [22;42]. Поскольку выражение P ∧ Q ∨ ¬A должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на лучах (-∞,22] и (42,+∞].
Из всех заданных отрезков только отрезок [23,32] удовлетворяют этим условиям.