На числовой прямой даны два отрезка: Р = [3, 38] и Q = [21, 57]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение
((х ∈ Q) → (х ∈ Р)) → ¬(х ∈ A)
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [6,20]
2) [22,35]
3) [42,55]
4) [20,40]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Преобразовав, получаем:
(¬Q ∨ P) → ¬A = Q ∧ ¬P ∨ ¬A.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию Q ∧ ¬P = 1 удовлетворяет отрезок (38;57]. Поскольку выражение Q ∧ ¬P ∨ ¬A должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на лучах [−∞,38] и (57,∞].
Из всех заданных отрезков только отрезок [42,55] удовлетворяет этим условиям.
Ошибка при преобразовании! Там должно получиться везде логическое ИЛИ(перед не P стоит логическое и), так как импликация раскладывается как Q v не P. Буду благодарен, если вы меня поправите, в случае если я ошибаюсь.
Преобразование подробней (два раза применяем преобразование импликации):
(Q → Р) → ¬A ⇔ (¬Q ∨ Р) → ¬A ⇔ ¬(¬Q ∨ Р) ∨ ¬A ⇔ Q ∧ ¬Р ∨ ¬A.