На числовой прямой даны два отрезка: Р = [3, 38] и Q = [21, 57]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение
¬(х ∈ A) → ((х ∈ Р) → ¬(х ∈ Q))
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [6,20]
2) [22,35]
3) [40,60]
4) [20,40]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Преобразовав, получаем:
¬A → (¬P ∨ ¬Q) = A ∨ ¬P ∨ ¬Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию ¬P ∨ ¬Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞; 21) и (38; +∞). Поскольку выражение A ∨ ¬P ∨ ¬Q должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на отрезке [21, 38]. Из всех заданных отрезков только отрезок [20, 40] удовлетворяет этим условиям.