Введем обозначения:

Тогда, применив преобразование импликации, получаем:

Требуется чтобы ¬A + ¬Q · P = 1. Выражение ¬Q · P истинно когда x ∈ {2, 4, 8, 10, 14, 16, 20}. Тогда ¬A должно быть истинным когда x ∈ {1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23,...}.

Следовательно, максимальное количество элементов в множестве A будет, если A включает в себя все элементы множества ¬Q · P, таких элементов семь.

Ответ: 7.

Введем обозначения:

Преобразовав, получаем:

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Выражение ¬P ∨ ¬Q истинно при всех значениях x, кроме значений 6 и 12. Следовательно, промежуток А должны содержать точки 6 и 12. То есть минимальный набор точек в промежутке А ≡ {6, 12}. Сумма элементов множества А равна 18.

Ответ: 18.

Раскроем две импликации. Получим:

(¬(x ∈ P) ∨ (x ∈ A)) ∨ ((x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ Q))

Упростим:

(¬(x ∈ P) ∨ (x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ Q))

¬(x ∈ P) ∨ ¬(x ∈ Q) дают 0 только, когда число лежит в обоих множествах. Значит, чтобы все выражение было истинно нам нужно все числа лежащие в P и Q занести в А. Такие числа 6, 12, 18. Их сумма 36.

Ответ: 36.

Преобразуем данное выражение:

Таким образом элемент должен либо входить в P или Q, либо не входить в А. Таким образом в А могут быть лишь элементы из P и Q. И всего в этих двух множествах 17 неповторяющихся элементов.

Раскроем две импликации. Получим:

(¬(x ∈ P) ∨ (x ∈ A)) ∨ ((x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ Q))

Упростим:

(¬(x ∈ P) ∨ (x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ Q))

¬(x ∈ P) ∨ ¬(x ∈ Q) дают 0, только когда число лежит в обоих множествах. Значит, чтобы все выражение было истинно, нужно все числа, лежащие в P и Q, занести в А. Такие числа 3, 9, 15 и 21. Их сумма 48.

Ответ: 48.

Заметим, что для тождественной истинности данного выражения выражение (y + 2x < A) должно быть истинно, когда два других выражения ложны. То есть оно должно быть истинно при x ≤ 30, y ≤ 20. При данных значениях x и y наибольшее возможное значение выражения y + 2x равно 80, следовательно, наименьшее целое неотрицательное значение числа A, удовлетворяющее условиям задачи равно 81.

Ответ: 81.

Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей

будет иметь решения для любых вещественных чисел.

Чтобы решениями системы были все вещественные числа, необходимо и достаточно, чтобы решениями каждой из совокупностей были все вещественные числа.

Решениями неравенства являются все числа из отрезка [−10; 10]. Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не лежащие на указанном отрезке, должны принадлежать отрезку A. Следовательно, отрезок A не должен выходить за пределы отрезка [−10; 10].

Аналогично, решениями неравенства являются числа из лучей и Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не лежащие на указанных лучах, должны лежать на отрезке A. Следовательно, отрезок A должен содержать в себе отрезок [−8; 8].

Тем самым, наименьшая длина отрезка A может быть равна 8 + 8 = 16.

Ответ: 16.

Чтобы найти наибольшее целое неотрицательное число A, при котором выражение будет тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y, рассмотрим, в каких случаях условия (y + 2x ≠ 48) и (x < y) ложны.

Таким образом, находим все решения, когда (y = 48 − 2x) и (x ≥ y). Это x в промежутке от 16 до 24 и y в промежутке от 0 до 16. Заметим, что для того, чтобы выражение подходило для любых x и y, требуется взять x = 16 и y = 16. Тогда A < 16. Следовательно, наибольшее целое неотрицательное число A будет равняться 15.

Ответ: 15.

Чтобы найти наибольшее целое неотрицательное число A, при котором выражение будет тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y, рассмотрим, в каких случаях условие (y + 2x ≠ 48) ложно.

Таким образом, находим все решения, когда (y = 48 − 2x). Это x в промежутке от 0 до 24 и y в промежутке от 48 до 0. Заметим, что для того, чтобы выражение подходило для любых x и y, требуется взять x = 16 и y = 16. Тогда A < 16. Следовательно, наибольшее целое неотрицательное число A будет равняться 15.

Ответ: 15.

Чтобы найти наименьшее целое неотрицательное число A, при котором выражение будет тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y, рассмотрим, в каких случаях условие (3y + 2x > 30) ложно.

Таким образом, находим все решения, когда (3y + 2x ≤ 30). Это x в промежутке от 0 до 15 и y в промежутке от 10 до 0. Заметим, что для того, чтобы выражение подходило для любых x и y, требуется взять x = 15 и y = 0. Тогда 15 + 0 ≤ A. Следовательно, наименьшее целое неотрицательное число A будет равняться 15.

Ответ: 15.

Чтобы найти наибольшее целое неотрицательное число A, при котором выражение будет тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y, рассмотрим, в каких случаях условие (3y + 2x < 30) ложно.

Таким образом, находим все решения, когда (3y + 2x ≥ 30). Это x больше 15 и y больше 10. Заметим, что для того, чтобы выражение подходило для любых x и y, требуется взять x = 0 и y = 10. Тогда 0 + 10 ≤ A. Следовательно, наибольшее целое неотрицательное число A будет равняться 10.

Ответ: 10.

Чтобы найти наименьшее целое неотрицательное число A, при котором выражение будет тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y, рассмотрим, в каких случаях условие (3x + 4y ≠ 70) ложно.

Таким образом, находим все решения, когда (3x + 4y = 70). Это x в промежутке от 2 до 22 и y в промежутке от 16 до 1. Заметим, что для того, чтобы выражение подходило для любых x и y, требуется взять x = 10 и y = 10. Тогда A > 10. Следовательно, наименьшее целое неотрицательное число A будет равняться 11.

Ответ: 11.

Чтобы найти наименьшее целое неотрицательное число A, при котором выражение будет тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y, рассмотрим, в каких случаях условие (2x + 3y ≠ 60) ложно.

Таким образом, находим все решения, когда (2x + 3y = 60). Это x в промежутке от 0 до 30 и y в промежутке от 20 до 0. Заметим, что для того, чтобы выражение подходило для любых x и y, требуется взять x = 12 и y = 12. Тогда A ≥ 12. Следовательно, наименьшее целое неотрицательное число A будет равняться 12.

Ответ: 12.

Чтобы найти наименьшее целое неотрицательное число A, при котором выражение будет тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y, рассмотрим, в каких случаях условие (3x + 4y ≠ 60) ложно.

Таким образом, находим все решения, когда (3x + 4y = 60). Это x в промежутке от 20 до 0 и y в промежутке от 0 до 15. Заметим, что для того, чтобы выражение подходило для любых x и y, требуется взять x = 20 и y = 0. Тогда A ≥ 20. Следовательно, наименьшее целое неотрицательное число A будет равняться 20.

Ответ: 20.

Чтобы найти наименьшее целое неотрицательное число A, при котором выражение будет тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y, рассмотрим, в каких случаях условие (5x + 3y ≠ 60) ложно.

Таким образом, находим все решения, когда (5x + 3y = 60). Это x в промежутке от 12 до 0 и y в промежутке от 0 до 20. Заметим, что для того, чтобы выражение подходило для любых x и y, требуется взять x = 0 и y = 20. Тогда A > 20. Следовательно, наименьшее целое неотрицательное число A будет равняться 21.

Ответ: 21.