Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 13745

Для какого наибольшего целого числа А формула

((x ≤ 9) →(x ⋅ x ≤ A)) ⋀ ((y ⋅ y ≤ A) → (y ≤ 9))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Спрятать решение

Решение.

Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей

 система выражений совокупность выражений x больше 9,x в квадрате меньше или равно A, конец системы . совокупность выражений y в квадрате больше A,y меньше или равно 9 конец совокупности . конец совокупности .

будет иметь решения для любых целых неотрицательных чисел.

Заметим, что переменные не связаны между собой уравнением или неравенством, поэтому необходимо и достаточно, чтобы решениями первой совокупности были все неотрицательные х, а решениями второй совокупности были все неотрицательные y.

Решениями неравенства x больше 9 являются числа 10, 11, 12, ... Чтобы совокупность выполнялась для всех целых неотрицательных чисел, числа 0, 1, 2, ... 9 должны быть решениями неравенства x в квадрате меньше или равно A. Значит, A больше или равно 81.

Аналогично, решениями неравенства  y меньше или равно 9 являются числа 0, 1, ... 9. Следовательно, числа 10, 11, 12, ... должны быть решениями неравенства y в квадрате больше A. Поэтому A меньше 100.

Тем самым, 81 меньше или равно A меньше 100. Искомое наибольшее целое значение параметра равно 99.

 

Ответ: 99.

 

Приведём другое решение на языке Python.

for a in range(300, 1, -1):

k = 0

for x in range(0, 301):

for y in range(0, 301):

if ((x <= 9) <= (x * x <= a)) and ((y*y <= a) <= (y <= 9)):

k += 1

if k == 90_000:

print(a)

break

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по информатике.