Тип 15 № 15830 
Преобразование логических выражений. Координатная плоскость
i
На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула
((x ∈ A) → (x2 ≤ 100)) ∧ ((x2 ≤ 64) → (x ∈ A))
тождественно истинна при любом вещественном x. Какую наименьшую длину может иметь отрезок A?
Решение. Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей
будет иметь решения для любых вещественных чисел.
Чтобы решениями системы были все вещественные числа, необходимо и достаточно, чтобы решениями каждой из совокупностей были все вещественные числа.
Решениями неравенства 
являются все числа из отрезка [−10; 10]. Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не лежащие на указанном отрезке, не должны принадлежать отрезку A. Следовательно, отрезок A не должен выходить за пределы отрезка [−10; 10].
Аналогично, решениями неравенства 
являются числа из лучей 
и 
Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не лежащие на указанных лучах, должны лежать на отрезке A. Следовательно, отрезок A должен содержать в себе отрезок [−8; 8].
Тем самым, наименьшая длина отрезка A может быть равна 8 + 8 = 16.
Ответ: 16.
Примечание.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
Приведём другое решение Сергея Фефелова на языке Python.
def f(x,a,b):
return ((a<=x<=b) <= (x**2 <= 100)) and ((x**2 <= 64) <= (a<=x<=b))
d = 1000
for a in range(-100, 100):
for b in range(a, 100):
for x in range(-100, 100):
if not f(x,a,b):
break
else:
d=min(d,b-a)
print(d)
Ответ: 16
