Вве­дем обо­зна­че­ния:

Пре­об­ра­зо­вав, по­лу­ча­ем:

Ло­ги­че­ское ИЛИ ис­тин­но, если ис­тин­но хотя бы одно утвер­жде­ние. Ло­ги­че­ское И ис­тин­но, когда ис­тин­ны оба утвер­жде­ния. Усло­вию ¬P ∨ ¬Q  =  1 удо­вле­тво­ря­ют лучи (−∞; 30) и (50; +∞). По­сколь­ку вы­ра­же­ние A ∨ ¬P ∨ ¬Q долж­но быть тож­де­ствен­но ис­тин­ным, вы­ра­же­ние A долж­но быть ис­тин­но на от­рез­ке [30, 50]. Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шая длина от­рез­ка А равна 50 − 30  =  20.

Ответ: 20.

При­ме­ча­ние 1.

Сле­ду­ет раз­ли­чать за­да­ния «най­ди­те длину от­рез­ка» и «най­ди­те ко­ли­че­ство целых чисел на от­рез­ке».

Длина от­рез­ка равна рас­сто­я­нию между его гра­нич­ны­ми точ­ка­ми. Длину от­рез­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле m−n, где m и n  — пра­вая и левая гра­ни­цы этого от­рез­ка со­от­вет­ствен­но. Длина от­рез­ка не за­ви­сит от того, вклю­че­ны ли в него его гра­ни­цы. За­ме­тим, од­на­ко, что если гра­ни­цы не вклю­че­ны, то долж­но ис­поль­зо­вать­ся слово «ин­тер­вал», а не слово «от­ре­зок».

Ко­ли­че­ство целых чисел на от­рез­ке можно найти по фор­му­ле m − n + 1, где m и n  — пра­вая и левая гра­ни­цы этого от­рез­ка со­от­вет­ствен­но, при­чем они вхо­дят в от­ре­зок.

При­ме­ча­ние 2.

Стоит очень вни­ма­тель­но от­но­сить­ся к ре­ше­нию по­доб­ных задач с по­мо­щью про­грамм, ре­а­ли­зу­ю­щих метод пе­ре­бо­ра. В про­грам­мах, ко­то­рые пред­ла­га­ют наши чи­та­те­ли, в ка­че­стве гра­ниц от­рез­ка ис­поль­зу­ют­ся целые числа, и длина от­рез­ка опре­де­ля­ет­ся как раз­ность между ними. Такие про­грам­мы будут да­вать не­вер­ный ре­зуль­тат, если ин­тер­вал А не яв­ля­ет­ся от­рез­ком, то есть одна или обе из его гра­ниц ему не при­над­ле­жат. При­ме­ром такой за­да­чи яв­ля­ет­ся за­да­ча 34541.

При­ведём ре­ше­ние Ивана Глад­ких (Чер­кесск) на языке Python.