РЕШУ ЕГЭ — информатика

Задания

На числовой прямой даны два отрезка: P  =  [20, 50] и Q  =  [30,65]. Отрезок A таков, что формула

¬(x ∈ A) → ((x ∈ P) →¬ (x ∈ Q))

истинна при любом значении переменной x. Какова наименьшая возможная длина отрезка A?

Решение. Введем обозначения:

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Преобразовав, получаем:

¬A → (¬P ∨ ¬Q) = A ∨ ¬P ∨ ¬Q.

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию ¬P ∨ ¬Q  =  1 удовлетворяют лучи (−∞; 30) и (50; +∞). Поскольку выражение A ∨ ¬P ∨ ¬Q должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на отрезке [30, 50]. Следовательно, наименьшая длина отрезка А равна 50 − 30  =  20.

Ответ: 20.

Примечание 1.

Следует различать задания «найдите длину отрезка» и «найдите количество целых чисел на отрезке».

Длина отрезка равна расстоянию между его граничными точками. Длину отрезка можно вычислить по формуле m−n, где m и n  — правая и левая границы этого отрезка соответственно. Длина отрезка не зависит от того, включены ли в него его границы. Заметим, однако, что если границы не включены, то должно использоваться слово «интервал», а не слово «отрезок».

Количество целых чисел на отрезке можно найти по формуле m − n + 1, где m и n  — правая и левая границы этого отрезка соответственно, причем они входят в отрезок.

Примечание 2.

Стоит очень внимательно относиться к решению подобных задач с помощью программ, реализующих метод перебора. В программах, которые предлагают наши читатели, в качестве границ отрезка используются целые числа, и длина отрезка определяется как разность между ними. Такие программы будут давать неверный результат, если интервал А не является отрезком, то есть одна или обе из его границ ему не принадлежат. Примером такой задачи является задача 34541.

Приведём решение Ивана Гладких (Черкесск) на языке Python.

m = 10**6

P = [i for i in range(20, 51)]

Q = [i for i in range(30, 66)]

for Amin in range(1, 100):

for Amax in range(Amin + 1, 100):

check = 1

A = [i for i in range(Amin, Amax)]

for x in range(-100, 100):

f = (not(x in A)) <= ((x in P) <= (not(x in Q)))

if not f:

check = 0

break

if check == 1:

m = min(m,Amax - Amin)

print(m-1)

№ п/п	№ задания	Ответ
1	11119	20

Ключ