Тип 15 № 15803 
Преобразование логических выражений. Координатная плоскость
i
На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула
((x ∈ A) → (x2 ≤ 100)) ∧ ((x2 ≤ 64) → (x ∈ A))
тождественно истинна при любом вещественном x. Какую наибольшую длину может иметь отрезок A?
Решение. Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей
будет иметь решения для любых вещественных чисел.
Чтобы решениями системы были все вещественные числа, необходимо и достаточно, чтобы решениями каждой из совокупностей были все вещественные числа.
Решениями неравенства 
являются все числа из отрезка [−10; 10]. Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не лежащие на указанном отрезке, не должны принадлежать отрезку A. Следовательно, отрезок A не должен выходить за пределы отрезка [−10; 10].
Аналогично, решениями неравенства 
являются числа из лучей 
и 
Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не лежащие на указанных лучах, должны лежать на отрезке A. Следовательно, отрезок A должен содержать в себе отрезок [−8; 8].
Таким образом, наибольшая длина отрезка A может быть равна 10 + 10 = 20.
Ответ: 20.
Примечание.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x,a):
return ((x in a) <= (x**2 <= 100)) and ((x**2 <= 64) <= (x in a))
a = set([i for i in range(-1000,1000)])
for x in range(-1000, 1000):
if not f(x,a):
a.remove(x)
print(len(a) - 1)
Ответ: 20
