Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 14779

Сколько существует целых значений числа A, при которых формула

((x < 5) → (x2 < A)) ∧ ((y2A) → (y ≤ 5))

 

тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?

Спрятать решение

Решение.

Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей

 система выражений совокупность выражений x больше или равно 5,x в квадрате меньше A, конец системы . совокупность выражений y в квадрате больше A,y меньше или равно 5 конец совокупности . конец совокупности .

будет иметь решениями для любых целых неотрицательных чисел.

Заметим, что переменные не связаны между собой уравнением или неравенством, поэтому необходимо и достаточно, чтобы решениями первой совокупности были все неотрицательные х, а решениями второй совокупности были все неотрицательные y.

Решениями неравенства x больше или равно 5 являются числа 5, 6, 7 ... Чтобы совокупность выполнялась для всех целых неотрицательных чисел, числа 0, 1, 2, ... 4 должны быть решениями неравенства x в квадрате меньше A. Значит, A больше 16.

Аналогично, решениями неравенства  y меньше или равно 5 являются числа 0, 1, ... 5. Следовательно, числа 6, 7, 8 ... должны быть решениями неравенства y в квадрате больше A. Поэтому A меньше 36.

Тем самым, 16 меньше A меньше 36. Искомое количество целых значение параметра равно 19.

 

Ответ: 19.

 

Приведём другое решение на языке Python.

count = 0

for a in range(1, 300):

k = 0

for x in range(0, 300):

for y in range(0, 300):

if ((x < 5) <= (x**2 < a)) and ((y**2 <= a) <= (y <= 5)):

k += 1

if k == 90_000:

count += 1

print(count)