Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 15 № 15113

Сколько существует целых значений числа A, при которых формула

 

((x < A) → (x2 < 100)) ∧ ((y2 ≤ 64) → (yA))

 

тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?

Решение.

Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей

 

 система выражений совокупность выражений x больше или равно A,x в степени 2 меньше 100, конец системы . левая квадратная скобка {\begin{align} y в степени 2 больше 64,y меньше или равно A конец совокупности . \end{align} }.

 

будет иметь решения для любых целых неотрицательных чисел.

Заметим, что переменные не связаны между собой уравнением или неравенством, поэтому необходимо и достаточно, чтобы решениями первой совокупности были все неотрицательные х, а решениями второй совокупности были все неотрицательные y.

Решениями неравенства x в степени 2 меньше 100 являются числа из отрезка [0; 9]. Чтобы совокупность выполнялась для всех целых неотрицательных чисел, числа из луча [10; плюс принадлежит fty) должны быть решениями x больше или равно A. Значит, A принадлежит [0;10].

Аналогично, решениями неравенства  y в степени 2 больше 64 являются числа из луча [9; плюс принадлежит fty). Следовательно, числа из отрезка [0; 8] должны быть решениями неравенства y меньше или равно A. Поэтому A принадлежит [8; плюс принадлежит fty).

Тем самым, 8 меньше или равно A меньше или равно 10. Искомое количество целых значений параметра равно 3.

 

Ответ: 3.

Раздел кодификатора ФИПИ: 1.5.1 Высказывания, логические операции, кванторы, истинность высказывания