Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 15113

Сколько существует целых значений числа A, при которых формула

((x < A) → (x2 < 100)) ∧ ((y2 ≤ 64) → (yA))

тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?

Спрятать решение

Решение.

Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей

 система выражений совокупность выражений x больше или равно A,x в квадрате меньше 100, конец системы . совокупность выражений y в квадрате больше 64,y меньше или равно A конец совокупности . конец совокупности .

будет иметь решения для любых целых неотрицательных чисел.

Заметим, что переменные не связаны между собой уравнением или неравенством, поэтому необходимо и достаточно, чтобы решениями первой совокупности были все неотрицательные х, а решениями второй совокупности были все неотрицательные y.

Решениями неравенства x в квадрате меньше 100 являются числа из отрезка [0; 9]. Чтобы совокупность выполнялась для всех целых неотрицательных чисел, числа из луча  левая квадратная скобка 10; плюс бесконечность правая круглая скобка должны быть решениями x больше или равно A. Значит, A принадлежит левая квадратная скобка 0;10 правая квадратная скобка .

Аналогично, решениями неравенства  y в квадрате больше 64 являются числа из луча  левая квадратная скобка 9; плюс бесконечность правая круглая скобка . Следовательно, числа из отрезка [0; 8] должны быть решениями неравенства y меньше или равно A. Поэтому A принадлежит левая квадратная скобка 8; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Тем самым, 8 меньше или равно A меньше или равно 10. Искомое количество целых значений параметра равно 3.

 

Ответ: 3.

 

Приведём другое решение на языке Python.

count = 0

for a in range(1, 300):

k = 0

for x in range(0, 300):

for y in range(0, 300):

if ((x < a) <= (x**2 < 100)) and ((y**2 <= 64) <= (y <= a)):

k += 1

if k == 90_000:

count += 1

print(count)