РЕШУ ЕГЭ — информатика

Подсчет количества слов с ограничениями

Сколько слов длины 5, начинающихся с гласной буквы, можно составить из букв Е, Г, Э? Каждая буква может входить в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть осмысленными словами русского языка.

Сколько слов длины 5, начинающихся с согласной буквы и заканчивающихся гласной буквой, можно составить из букв З, И, М, А? Каждая буква может входить в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть осмысленными словами русского языка.

Вася составляет 5-⁠буквенные слова, в которых есть только буквы С, Л, О, Н, причём буква С используется в каждом слове ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

Игорь составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь использует 5-⁠буквенные слова, в которых есть только буквы П, И, Р, причём буква П появляется ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может использовать Игорь?

Алексей составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Алексей использует 5-⁠буквенные слова, в которых есть только буквы A, B, C, X, причём буква X может появиться на первом месте или не появиться вовсе. Сколько различных кодовых слов может использовать Алексей?

Рассматриваются символьные последовательности длины 5 в шестибуквенном алфавите {У, Ч, Е, Н, И, К}. Сколько существует таких последовательностей, которые начинаются с буквы У и заканчиваются буквой К?

Вася составляет 4-⁠буквенные слова, в которых есть только буквы Б, Р, О, Н, Х, И, причём буква Х используется в каждом слове, и только 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

Решение. Если в алфавите M символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной N равно $Q=M в степени N .$ Кодовые слова устроены следующим образом: на одном из мест стоит буква X, на остальных произвольные три символа из шестибуквенного алфавита. Найдём количество кодовых слов, в которых буква X стоит на первом месте: $Q_1 = 5 в кубе = 125.$ Ясно, что количество кодовых слов, в которых буква X стоит на втором, третьем или четвёртом местах также равно 125. Всего кодовых слов: 4 · 125  =  500.

Ответ: 500.

Приведём другое решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "БРОНХИ"

ar = itertools.product(alphabet, repeat=4) #Размещение с повторением

arl = []

for i in ar:

arl.append(list(i))

count = 0

for e in arl:

if e.count('Х') == 1:

count += 1

print(count)

Приведём решение Ильи Андрианова на языке Python.

from itertools import product

count = 0

for var in product('БРОНХИ', repeat=4):

slovo = ''.join(var)

if slovo.count('Х') == 1:

count += 1

print(count)

Приведём решение Ильи Андрианова на языке Python.

from itertools import product

print(len([1 for var in product('БРОНХИ', repeat=4) if ''.join(var).count('Х') == 1]))

Приведём решение Сергея Донец на языке PascalABC.NET.

begin
'Б, Р, О, Н, Х, И, '.Remove(', ')
.Cartesian(4)
.Where(s->s.CountOf('Х')=1)
.Count.Print;
end.

Ольга составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Ольга использует 4-⁠буквенные слова, в которых есть только буквы A, B, C, D, X, Y. При этом первая буква кодового слова  — это буква X или Y, а далее в кодовом слове буквы X и Y не встречаются. Сколько различных кодовых слов может использовать Ольга?

Игорь составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь использует 5-⁠буквенные слова, в которых есть только буквы A, B, C, X, причём буква X появляется ровно 1 раз и только на 1-⁠й или последней позиции слова. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может использовать Игорь?

10.  

Пётр составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Пётр использует все пятибуквенные слова в алфавите {A, B, C, D, E, F}, удовлетворяющие такому условию: кодовое слово не может начинаться с буквы F и заканчиваться буквой A. Сколько различных кодовых слов может использовать Пётр?

11.  

Олег составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Олег использует 4-⁠буквенные слова, в которых есть только буквы A, B, C, D, E, X, Z, причём буквы X и Z встречаются только на двух первых позициях, а буквы A, B, C, D, E  — только на двух последних. Сколько различных кодовых слов может использовать Олег?

12.  

Вася составляет 5-⁠буквенные слова, в которых есть только буквы З, И, М, А, причём в каждом слове есть ровно одна гласная буква и она встречается ровно 1 раз. Каждая из допустимых согласных букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

13.  

Михаил составляет 6-⁠буквенные коды. В кодах разрешается использовать только буквы А, Б, В, Г, при этом код не может начинаться с гласной и не может содержать двух одинаковых букв подряд. Сколько различных кодов может составить Михаил?

14.  

Матвей составляет 6-⁠буквенные коды из букв М, А, Т, В, Е, Й. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом код не может начинаться с буквы Й и не может содержать сочетания АЕ. Сколько различных кодов может составить Матвей?

Решение. Сначала найдём общее количество возможных слов. Поскольку на первое место можно поставить любую букву, кроме Й, общее количество возможных слов равняется 5 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1  =  600. Теперь определим, сколько слов содержат сочетание АЕ. Пусть слово начинается с АЕ, тогда количество вариантов равняется 1 · 1 · 4 · 3 · 2 · 1  =  24. Пусть АЕ  — это вторая и третья буквы слова, тогда количество вариантов равняется 3 · 1 · 1  · 3 · 2 · 1  =  18. Пусть АЕ  — это третья и четвёртая буквы слова, тогда количество вариантов равняется 3 · 3 · 1 · 1 · 2 · 1  =  18. В случае, когда АЕ  — это четвёртая и пятая буквы слова, количество вариантов равняется 3 · 3 · 2 · 1 · 1 · 1  =  18. В случае, когда АЕ  — это пятая и шестая буквы слова, количество вариантов равняется 3 · 3 · 2 · 1 · 1 · 1  =  18. Таким образом, количество кодов, которые может составить Матвей, равняется 600 − 24 − 18 − 18 − 18 − 18  =  504.

Ответ: 504.

Приведём другое решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "МАТВЕЙ"

ar = itertools.permutations(alphabet) #Перестановка

arl = []

for i in ar:

arl.append(list(i))

count = 0

for e in arl:

flag = True

for i in range(len(e) - 1):

if e[0] == 'Й' or (e[i] == 'А' and e[i + 1] == 'Е'):

flag = False

if flag == True: count += 1

print(count)

Приведём решение Михаила Глинский на языке Python.

al='МАТВЕЙ'

k=0

for b1 in 'МАТВЕ':

for b2 in al:

for b3 in al:

for b4 in al:

for b5 in al:

for b6 in al:

s=b1+b2+b3+b4+b5+b6

bb=set(s)

if len(s)==len(bb) and s.count('АЕ')==0:

k+=1

print(k)

Приведём другое решение на языке Python.

def func(not_used, pre=''):

if 'АЕ' in pre: # Не должно включать АЕ

return 0

if pre[:1] == 'Й': # Не должно начинаться с Й

return 0

if not_used == '': # Если все буквы использованы

return 1 # Считаем как один из вариантов

count = 0

for letter in not_used:

count += func(not_used.replace(letter, ''), pre + letter)

return count

print(func('МАТВЕЙ'))

Приведём решение Юрия Красильникова на языке Python.

import itertools

codes = [''.join(p) for p in itertools.permutations('МАТВЕЙ')]

codes2 = [w for w in codes if w[0]!='Й' and not 'АЕ' in w]

print(len(codes2))

Приведём решение Сергея Донец на языке PascalABC.NET.

begin
'МАТВЕЙ'.Permutations
.Count(s->(s[1]<>'Й')and('АЕ' not in s))
.Print;
end.

15.  

Герасим составляет 7-⁠буквенные коды из букв Г, Е, Р, А, С, И, М. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Герасим?

Решение. Заметим, что, поскольку гласных букв три, а согласных  — четыре, слово должно начинаться с согласной, поскольку иначе нельзя будет составить слово, в котором не будут встречаться подряд две согласные буквы. Также учтём то, что каждую букву нужно использовать только один раз.

На первое место можно поставить любую из четырех согласных. На второе  — любую из трех гласных. На третье  — любую из трех оставшихся согласных. На четвертое  — любую из двух оставшихся гласных. На пятое  — любую из двух оставшихся согласных. На шестое  — одну оставшуюся гласную. На седьмое место можно поставить последнюю оставшуюся согласную. По правилу произведения, соответствующие количества способов перемножаем. Таким образом, Герасим может составить 4 · 3 · 3 · 2 · 2 · 1 · 1  =  144 различных кода.

Ответ: 144.

Приведём решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "ГЕРАСИМ"

con = 'ГРСМ'

vol = 'ЕАИ'

ar = itertools.permutations(alphabet) #Перестановка

arl = []

for i in ar:

arl.append(list(i))

count = 0

for e in arl:

flag = True

for i in range(len(e) - 1):

if (e[i] in con and e[i + 1] in con) or (e[i] in vol and e[i + 1] in vol):

flag = False

if flag == True: count += 1

print(count)

Приведём решение Ивана Свербихина на языке Python.

b = 'ЕАИ'

a = 'ГРСМ'

c = 0

for i in a:

for j in b:

for n in a:

for m in b:

for l in a:

for k in b:

for g in a:

s =i+j+n+m+l+k+g

f = set(s)

if len(f) == len(s):

c += 1

print(c)

Приведём решение Сергея Донец на языке PascalABC.NET.

begin
'Г, Е, Р, А, С, И, М'.Remove(', ').Permutations(7)
.where(s->'ЕАИ'.Permutations(2).all(d->d not in s))//нельзя две гласные подряд
.where(s->'ГРСМ'.Permutations(2).all(d->d not in s))//нельзя две согласные подряд
.Count.Print;
end.

16.  

Вася составляет 6-⁠буквенные слова из букв К, О, Т. Причем буква К используется в каждом слове ровно 1 раз. Остальные буквы могут быть использованы любое количество раз, в том числе совсем отсутствовать. Сколько слов может составить Вася? Словом называется любая буквенная комбинация, не обязательно осмысленное слово русского языка.

17.  

Ольга составляет 5-⁠буквенные коды из букв О, Л, Ь, Г, А. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом Ь нельзя ставить первым и нельзя ставить после гласной. Сколько различных кодов может составить Ольга?

Решение. Пусть буква Г обозначает гласную, а буква С  — согласную. Тогда в слове на любой позиции могут быть использованы гласные Г, согласные С и конструкция СЬ, обозначающая какую-либо согласную с мягким знаком. Тогда, например, при использовании в качестве согласной буквы в конструкции СЬ буквы Л можно будет получить 4 · 3 · 2 · 1  =  24 варианта слов. Для оставшейся согласной буквы также получаем 24 варианта. Таким образом, всего можно составить 2 · 24  =  48 различных кодов.

Ответ: 48.

Приведём другое решение.

Сначала найдём общее количество возможных слов, учитывая только то ограничение, что Ь нельзя ставить первым. На первое место можно поставить любую букву, кроме Ь, поэтому общее количество возможных слов равняется 4 · 4 · 3 · 2 · 1  =  96. Пусть буква Г обозначает гласную, а буква С  — согласную. Тогда нельзя составить слова вида: ГЬГСС, ГЬСГС, ГЬССГ, ГГЬСС, ГСГЬС, ГССГЬ, СГГЬС, ССГГЬ, СГСГЬ, СГЬСГ, ССГЬГ, СГЬГС. Подсчитаем количество слов первого вида: 2 · 1 · 1 · 2 · 1  =  4. Слов других видов столько же. Всего слов, которые нельзя составить, 12 · 4  =  48. Значит, всего возможных слов 96 − 48  =  48.

Приведём другое решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "ОЛЬГА"

vol = "ОА"

ar = itertools.permutations(alphabet) #Перестановка

arl = []

for e in ar:

arl.append(list(e))

count = 0

for e in arl:

flag = True

for i in range(len(e)):

if (e[0] == "Ь") or (e[i] == "Ь" and e[i-1] in vol):

flag = False

if flag:

count += 1

print(count)

Приведём другое решение на языке Python.

a1=['о','л','г','а']

a=['о','л','г','а','ь']

k=0

for b1 in a1:

for b2 in a:

for b3 in a:

for b4 in a:

for b5 in a:

s=b1+b2+b3+b4+b5

if s.count('о')==1 and s.count('л')==1 and s.count('ь')==1 and s.count('г')==1 and s.count('а')==1 :

if not('оь') in s and not('аь') in s:

k+=1

print(k)

Приведём решение Ильи Андрианова на языке Python.

from itertools import permutations

count = 0

for s in permutations('ОЛЬГА', 5):

slovo = ''.join(s)

if slovo[0] != 'Ь':

if 'АЬ' not in slovo and 'ОЬ' not in slovo:

count += 1

print(count)

Приведём решение Сергея Донец на языке PascalABC.NET.

begin
'О, Л, Ь, Г, А'.Remove(', ').Permutations(5)
.Count(s->(s[1]<>'Ь')and('ОЬ'not in s)and('АЬ'not in s))
.Print;
end.

18.  

Иван составляет 5-⁠буквенные коды из букв И, В, А, Н. Буквы в коде могут повторяться, использовать все буквы не обязательно, но букву И нужно использовать хотя бы один раз. Сколько различных кодов может составить Иван?

19.  

Найдите количество пятизначных восьмеричных чисел, в которых все цифры различны и никакие две четные или нечетные не стоят рядом.

Решение. Заметим, что чётных и нечётных цифр в восьмеричной системе счисления 4 и 4 соответственно. Найдём количество пятизначных чисел, начинающихся с нечётной цифры: 4 · 4 · 3 · 3 · 2  =  288. Найдём количество пятизначных чисел, начинающихся с чётной цифры (при этом учтем, что число не может начинаться с нуля): 3 · 4 · 3 · 3 · 2  =  216. Таким образом, получаем ответ: 288 + 216  =  504.

Ответ: 504.

Приведём решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "01234567"

ar = itertools.permutations(alphabet, 5) #Размещение

arl = []

for e in ar:

arl.append(list(e))

count = 0

for e in arl:

flag = True

for i in range(len(e)-1):

if (e[0] == "0") or (int(e[i]) % 2 == 0 and int(e[i+1]) % 2 == 0) or (int(e[i]) % 2 != 0 and int(e[i+1]) % 2 != 0):

flag = False

if flag:

count += 1

print(count)

Приведём решение Бориса Савельева на языке Python.

from itertools import permutations

s = permutations('01234567', 5)

k = 0

for i in s:

if i[0] != '0':

if int(i[0])%2 != int(i[1])%2 and int(i[1])%2 != int(i[2])%2 and int(i[2])%2 != int(i[3])%2 and int(i[3])%2 != int(i[4])%2:

k += 1

print(k)

Приведём решение Сергея Донец на PascalABC.NET:

begin

'01234567'.Permutations(5) // 8-ричная 5-значных

.Where(s->s[1] <> '0') // Первой цифрой не может быть 0

.Where(s->not s.IsMatch('[0246][0246]')) //не две чётные цифры рядом

.Where(s->not s.IsMatch('[1357][1357]')) //не две нечётные цифры рядом

.Count.Print;//504

end.

20.  

Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5, в которых каждая цифра может встречаться только один раз, при этом никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом.

Решение. Заметим, что чётных и нечётных цифр 5 и 5 соответственно. Чтобы число делилось на 5, необходимо, чтобы на конце числа стояла цифра 5 или 0. Найдём количество шестизначных чисел, делящихся на 5 и начинающихся с нечётной цифры: 5 · 4 · 4 · 3 · 3 · 1  =  720. Найдём количество шестизначных чисел, делящихся на 5 и начинающихся с чётной цифры (при этом число не должно начинаться с нуля): 4 · 4 · 4 · 3 · 3 · 1  =  576. Таким образом, получаем ответ: 720 + 576  =  1296.

Ответ: 1296.

Приведём другое решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "0123456789"

ar = itertools.permutations(alphabet, 6) #Размещение

arl = []

for e in ar:

arl.append(list(e))

count = 0

for e in arl:

flag = True

for i in range(len(e)-1):

if (e[0] == "0") or (int(e[i]) % 2 == 0 and int(e[i+1]) % 2 == 0) or (int(e[i]) % 2 != 0 and int(e[i+1]) % 2 != 0) or (e[5] != "5" and e[5] != "0"):

flag = False

if flag:

count += 1

print(count)

Приведём решение Ильи Андрианова на языке Python.

from itertools import permutations

count = 0

for var in permutations('0123456789', 6):

num = ''.join(var)

if num[0] != '0' and num[-1] in '05':

num = num.replace('0', '2').replace('4', '2').replace('6', '2').replace('8', '2')

num = num.replace('3', '1').replace('5', '1').replace('7', '1').replace('9', '1')

if '22' not in num and '11' not in num:

count += 1

print(count)

Приведём решение Сергея Донец на PascalABC.NET:

begin

'0123456789'.Permutations(6) // 10-ричная 6-значных

.Where(s->(s[1] <> '0')and((s[6] = '0')or(s[6] = '5')) ) // Первой цифрой не может быть 0

.Where(s->not s.IsMatch('[02468][02468]')) //не две чётные цифры рядом

.Where(s->not s.IsMatch('[13579][13579]')) //не две нечётные цифры рядом

.Count.Print;//1296

end.

21.  

Николай составляет 4-⁠буквенные коды из букв Н, И, К, О, Л, А, Й. Каждую букву можно использовать любое количество раз, при этом код не может начинаться с буквы Й и должен содержать хотя бы одну гласную. Сколько различных кодов может составить Николай?

22.  

Руслан составляет 6-⁠буквенные коды из букв Р, У, С, Л, А, Н. Каждую букву нужно использовать ровно один раз, при этом нельзя ставить рядом две гласные. Сколько различных кодов может составить Руслан?

Решение. Найдём все слова, в которых учитывается условие, что каждую букву нужно использовать ровно один раз: 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1  =  720.

Слов, в которых гласные стоят рядом на первом и втором месте,  — 2 · 1 · 4 · 3 · 2 · 1  =  48. Также гласные могут стоять рядом на втором и третьем месте, на третьем и четвёртом, на четвёртом и пятом, на пятом и шестом. Значит, всего слов, в которых гласные стоят рядом,  — 48 · 5  =  240. Таким образом, ответ  — 720 − 240  =  480.

Ответ: 480.

Приведём другое решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "РУСЛАН"

vol = "УА"

ar = itertools.permutations(alphabet) #Перестановка

arl = []

for e in ar:

arl.append(list(e))

count = 0

for e in arl:

flag = True

for i in range(len(e)-1):

if e[i] in vol and e[i+1] in vol:

flag = False

if flag:

count += 1

print(count)

Приведём решение Егора Чернецова на языке Python.

print(sum('УА' not in ''.join(p) and 'АУ' not in ''.join(p) for p in __import__('itertools').permutations('РУСЛАН')))

Приведём решение Егора Чернецова на языке Python.

from itertools import permutations

c = 0

for p in permutations('РУСЛАН'):

if 'УА' not in ''.join(p) and 'АУ' not in ''.join(p):

c += 1

print(c)

Приведём решение Сергея Донец на языке PascalABC.NET.

begin
'Р, У, С, Л, А, Н'.Remove(', ').Permutations(6)
.Count(s->('УА'not in s)and('АУ'not in s))
.Print;
end.

23.  

Виктор составляет 4-⁠буквенные коды из букв В, И, К, Т, О, Р. Каждую букву можно использовать не более одного раза, при этом нельзя ставить рядом две гласные и две согласные. Сколько различных кодов может составить Виктор?

Решение. Заметим, что поскольку гласных букв две, а согласных четыре, слово может начинаться с как с согласной, так и с гласной. Также учтём то, что каждую букву нужно использовать не более одного раза.

Поставим на первое место любую из четырёх согласных. На второе  — любую из двух гласных. На третье  — любую из трёх оставшихся согласных. На четвертое  — оставшуюся гласную. По правилу произведения, соответствующие количества способов перемножаем. Учитывая, что на первое место можно поставить как согласную, так и гласную, Виктор может составить 2 · 4 · 2 · 3 · 1  =  48 различных кодов.

Ответ: 48.

Приведём другое решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "ВИКТОР"

vol = "ИО"

con = "ВКТР"

ar = itertools.permutations(alphabet, 4) #Размещение

arl = []

for e in ar:

arl.append(list(e))

count = 0

for e in arl:

flag = True

for i in range(len(e)-1):

if (e[i] in vol and e[i+1] in vol) or (e[i] in con and e[i+1] in con):

flag = False

if flag:

count += 1

print(count)

Приведём решение Сергея Донец на языке PascalABC.NET.

begin
'В, И, К, Т, О, Р'.Remove(', ').Permutations(4)
.where(s->'ИО'.Permutations(2).all(d->d not in s))//нельзя две гласные рядом
.where(s->'ВКТР'.Permutations(2).all(d->d not in s))//нельзя две согласные рядом
.Count.Print;
end.

24.  

Борис составляет 6-⁠буквенные коды из букв Б, О, Р, И, С. Буквы Б и Р нужно обязательно использовать ровно по одному разу, букву С можно использовать один раз или не использовать совсем, буквы О и И можно использовать произвольное количество раз или не использовать совсем. Сколько различных кодов может составить Борис?

Решение. Найдём количество шестибуквенных слов, в которых есть ровно одна буква Б и ровно одна буква Р, тогда остаётся 4 позиции для размещения букв С, И, О.

1.  Если 4 позиции занимают буквы О и И, при этом код не содержит буквы С, то получается 2 · 2 · 2 · 2  =  16 вариантов.

2.  Если 4 позиции занимают буквы О, И и С, с учётом того, что буква С может использоваться только один раз, то получается 4 · 8  =  32 варианта.

При этом буква Б может стоять на любой из шести позиций, буква Р  — на любой из оставшихся пяти позиций, всего 6 · 5  =  30  вариантов.

Тогда количество различных кодов: 30 · (16 + 32)  =  1440.

Ответ: 1440.

Приведём решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "БОРИС"

ar = itertools.product(alphabet, repeat=6) #Размещение с повторением

arl = []

for i in ar:

arl.append(list(i))

count = 0

for e in arl:

if e.count("Б") == 1 and e.count("Р") == 1 and e.count("С") <= 1:

count += 1

print(count)

Приведём решение Ильи Андрианова на языке Python.

from itertools import *

cnt = 0

for per in product('БОРИС', repeat=6):

slovo = ''.join(per)

if slovo.count('Б') == 1 and slovo.count('Р') == 1 and slovo.count('С') <= 1:

cnt += 1

print(cnt)

Приведём решение Сергея Донец на языке PascalABC.NET.

begin
'Б, О, Р, И, С'.Remove(', ').Cartesian(6)
.where(s->(s.CountOf('Б')=1))
.where(s->(s.CountOf('Р')=1))
.where(s->(s.CountOf('С')<=1))
.Count.Print;
end.

25.  

Петя составляет 6-⁠буквенные коды из букв П, Е, Т, Я. Каждую букву можно использовать любое количество раз или совсем не использовать, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Петя?

Решение. Заметим, что поскольку гласных и согласных поровну, слово может начинаться с как с согласной, так и с гласной.

Поставим на первое место любую из двух согласных. На второе  — любую из двух гласных. На третье  — любую из двух согласных. На четвертое  — любую из двух гласных. На пятое  — любую из двух согласных. На шестое  — любую из двух гласных. По правилу произведения, соответствующие количества способов перемножаем. Учитывая, что на первое место можно поставить как согласную, так и гласную, Петя может составить 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 + 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2  =  128 различных кодов.

Ответ: 128.

Приведём другое решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "ПЕТЯ"

vol = "ЕЯ"

con = "ПТ"

ar = itertools.product(alphabet, repeat=6) #Размещение с повторением

arl = []

for i in ar:

arl.append(list(i))

count = 0

for e in arl:

flag = True

for i in range(len(e) - 1):

if (e[i] in vol and e[i + 1] in vol) or (e[i] in con and e[i + 1] in con):

flag = False

if flag:

count += 1

print(count)

Приведём решение Ильи Андрианова на языке Python.

from itertools import product

count = 0

for x in product('ПЕТЯ', repeat=6):

slovo = ''.join(x)

if all(pair not in slovo for pair in 'ПП ПТ ТП ТТ ЕЯ ЯЕ ЕЕ ЯЯ'.split()):

count += 1

print(count)

26.  

Регина составляет 5-⁠буквенные коды из букв Р, Е, Г, И, Н, А. Буквы Р и Г нужно обязательно использовать ровно по одному разу, букву Н можно использовать один раз или не использовать совсем, остальные буквы можно использовать произвольное количество раз или не использовать совсем. Сколько различных кодов может составить Регина?

Решение. Найдём все слова, в которых Р и Г будут на первом и втором местах, тогда остаётся 3 позиции для размещения букв Е, И, А, Н.

1.  Если 3 позиции занимают буквы Е, И, А, при этом код не содержит буквы Н, то 3 · 3 · 3  =  27 вариантов.

2.  Если 3 позиции занимают буквы Е, И, А и Н, с учётом того, что буква Н может использоваться только один раз, то 3 · 9  =  27 вариантов.

Тогда количество слов, в которых буквы Р и Г стоят на первом и втором месте: 27 + 27  =  54.

Буквы Р и Г могут использоваться ровно один раз. Всего возможных вариантов расположения букв Р и Г, не считая расположения на первых двух позициях, может быть 2 · (4 + 3 + 2 + 1)  =  20.

Тогда количество различных кодов: 54 · 20  =  1080.

Приведем другое решение.

1.  Найдем количество слов, в которых буква Н используется один раз.

Буква Р может стоять на любой из пяти позиций, буква Г может стоять на любой из четырех оставшихся позиций, буква Н может стоять на любой из трех оставшихся позиций. Две свободные позиции могут занимать буквы Е, И, А в любых комбинациях. Следовательно, количество слов равно 5 · 4 · 3 · 3²  =  540.

2.  Найдем количество слов, в которых не используется буква Н.

Буква Р может стоять на любой из пяти позиций, буква Г может стоять на любой из четырех оставшихся позиций. Три свободные позиции могут занимать буквы Е, И, А в любых комбинациях. Следовательно, количество слов равно 5 · 4 · 3³  =  540.

Общее количество слов составит 540 + 540  =  1080.

Ответ: 1080.

Приведём другое решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "РЕГИНА"

ar = itertools.product(alphabet, repeat=5) #Размещение с повторением

arl = []

for i in ar:

arl.append(list(i))

count = 0

for e in arl:

if e.count("Г") == 1 and e.count("Р") == 1 and e.count("Н") <= 1:

count += 1

print(count)

27.  

Тимофей составляет 5-⁠буквенные коды из букв Т, И, М, О, Ф, Е, Й. Буква Й может использоваться в коде не более одного раза, при этом она не может стоять на первом месте, на последнем месте и рядом с буквой И. Все остальные буквы могут встречаться произвольное количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодов может составить Тимофей?

Решение. Заметим, что буква Й может встречаться в слове один раз или не встречаться совсем. Рассмотрим два случая.

Пусть буква Й стоит на втором месте. Тогда, поскольку на соседних позициях не может стоять буква И, количество возможных слов равно 5 · 1 · 5 · 6 · 6. Также буква Й может стоять на третьем и четвёртом месте. Значит, всего слов, в которых используется буква Й, 5 · 1 · 5 · 6 · 6 · 3  =  2700.

Если буква Й не используется, количество возможных слов равно 6 · 6 · 6 · 6 · 6  =  7776.

Таким образом, всего возможных слов 2700 + 7776  =  10476.

Ответ: 10476.

Приведём другое решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "ТИМОФЕЙ"

ar = itertools.product(alphabet, repeat=5) #Размещение с повторениями

arl = []

for i in ar:

arl.append(list(i))

count = 0

for e in arl:

flag = True

for i in range(len(e) - 1):

if e.count('Й') > 1 or e[0] == 'Й' or e[-1] == 'Й' or (e[i] == 'Й' and e[i + 1] == 'И') or (e[i + 1] == 'Й' and e[i] == 'И'):

flag = False

if flag == True: count += 1

print(count)

Приведём решение Бориса Савельева на языке Python.

from itertools import product

s=product('ТИМОФЕЙ', repeat =5)

k=0

for i in s:

p=''.join(i)

if p.count('Й')<=1 and p[0]!='Й' and p[-1]!='Й' and p.count('ИЙ')==0 and p.count('ЙИ')==0:

k+=1

print(k)

28.  

Тимофей составляет 5-⁠буквенные коды из букв Т, И, М, О, Ф, Е, Й. Буква Т должна входить в код не менее одного раза, а буква Й  — не более одного раза. Сколько различных кодов может составить Тимофей?

Решение. Всего слов, в которых буква Й не встречается вовсе, можно составить 6 · 6 · 6 · 6 · 6  =  7776. Вычтем из этого числа количество слов, в которых не встречается буква Т: 7776 − 5 · 5 · 5 · 5 · 5  =  4651. Таким образом, количество слов, где буква Т встречается хотя бы один раз, а буква Й не встречается вовсе, равно 4651.

Всего слов, в которых буква Й встречается один раз на первом месте, равно 1 · 6 · 6 · 6 · 6. Букву Й можно поставить на первое, второе, третье, четвёртое и пятое места, значит, всего таких слов 5 · 1 · 6 · 6 · 6 · 6  =  6480. Всего слов, в которых буква Й встречается один раз на первом месте, а буква Т не встречается вообще, равно 1 · 5 · 5 · 5 · 5. Букву Й можно поставить на первое, второе, третье, четвёртое и пятое места, значит, всего таких слов 5 · 1 · 5 · 5 · 5 · 5  =  3125. Таким образом, количество слов, в которых буква Т встречается хотя бы один раз, а буква Й  — ровно один раз, равно 6480 − 3125  =  3355 слов.

Тогда ответ  — 4651 + 3355  =  8006.

Ответ: 8006.

Приведём другое решение на языке Python.

from itertools import product

s = 'ТИМОФЕЙ'

words = []

for w in product(s, repeat=5):

    if ('Т' in w) and w.count('Й') <= 1:

        words.append(w)

print(len(words))

Приведём другое решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "ТИМОФЕЙ"

ar = itertools.product(alphabet, repeat=5) #Размещение с повторением

arl = []

for i in ar:

arl.append(list(i))

count = 0

for e in arl:

if e.count("Т") >= 1 and e.count("Й") <= 1:

count += 1

print(count)

29.  

Настя составляет 6-⁠буквенные коды из букв Н, А, С, Т, Я. Каждая допустимая гласная буква может входить в код не более одного раза. Сколько кодов может составить Настя?

Решение. Рассмотрим несколько случаев. Первый случай  — в словах не встречается гласных букв. Таких слов получится 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3  =  729.

Второй случай  — в кодовых словах встречается только одна гласная буква. Пусть буква А стоит на первом месте. Тогда получится 1 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3  =  243 слова. Всего букву А можно поставить на 6 мест. Всего слов, в которых встречается только буква А, получится 243 · 6  =  1458 слов. Столько же получится слов, в которых встречается только буква Я.

Третий случай  — в словах встречаются обе допустимые гласные буквы. Пусть буква А стоит на первом месте, а буква Я  — на втором. Тогда на остальных четырёх позициях может стоять любая из трёх оставшихся букв, то есть всего 1 · 1 · 3 · 3 · 3 · 3  =  81 слово. Когда А стоит на первом месте, есть пять вариантов расположения буквы Я. Тогда имеем 81 · 5  =  405 слов. Аналогичные рассуждения можно применить, когда А стоит на втором, третьем, четвёртом, пятом и шестом местах. Тогда получается 405 · 6  =  2430 слов.

Таким образом, всего слов будет 2430 + 1458 + 1458 + 729  =  6075.

Ответ: 6075.

Приведём другое решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "НАСТЯ"

ar = itertools.product(alphabet, repeat=6) #Размещение с повторением

arl = []

for i in ar:

arl.append(list(i))

count = 0

for e in arl:

if e.count("А") <= 1 and e.count("Я") <= 1:

count += 1

print(count)

30.  

Вася составляет 6-⁠буквенные слова, в которых могут быть использованы только буквы В, И, Ш, Н, Я, причём буква В используется не более одного раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Слово не должно начинаться с буквы Ш и оканчиваться гласными буквами. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

Решение. Рассмотрим случай, когда буква В не встречается в слове. Тогда, поскольку слово не может начинаться с буквы Ш, на первом месте может стоять 3 буквы, на втором, третьем, четвёртом и пятом местах может стоить 4 буквы, и на последнем месте может стоять только 2 буквы, поскольку слово не может оканчиваться гласными. Всего 3 · 4 · 4 · 4 · 4 · 2  =  1536 слов.

Если буква В встречается в слове и стоит на первом месте, тогда получаем 1 · 4 · 4 · 4 · 4 · 2  =  512 слов.

Если буква В встречается в слове и стоит на втором месте, получаем 3 · 1 · 4 · 4 · 4 · 2  =  384 слова. Также можно разместить букву В на третьем, четвёртом и пятом местах, в любом из этих случаев получится по 384 слова. Следовательно, всего 384 · 4  =  1536 слов. Если буква В встречается в слове и стоит на последнем месте, получаем 3 · 4 · 4 · 4 · 4 · 1  =  768 слов.

Таким образом, Вася может составить 1536 + 512 + 1536 + 768  =  4352 слова.

Ответ: 4352.

Приведём другое решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "ВИШНЯ"

ar = itertools.product(alphabet, repeat=6) #Размещение с повторением

arl = []

for i in ar:

arl.append(list(i))

count = 0

for e in arl:

if e.count("В") <= 1 and e[0] != "Ш" and e[-1] != "Я" and e[-1] != "И":

count += 1

print(count)

31.  

Ученица составляет 5-⁠буквенные слова из букв ГЕПАРД. При этом в каждом слове ровно одна буква Г, слово не может начинаться на букву А и заканчиваться буквой Е. Какое количество слов может составить ученица?

32.  

Светлана составляет коды из букв своего имени. Код должен состоять из 8 букв, и каждая буква в нём должна встречаться столько же раз, сколько в имени Светлана. Кроме того, одинаковые буквы в коде не должны стоять рядом. Сколько кодов может составить Светлана?

Решение. Заметим, что алфавит состоит из 7 букв: С, В, Е, Т, Л, А, Н. Каждая буква должна встречаться в коде один раз, за исключением буквы А  — она может встречаться в коде два раза, но не должна стоять в коде рядом с другой буквой А.

Пусть одна буква А стоит на первом месте, а вторая буква А стоит на третьем месте, тогда всего таких кодов будет 1 · 6 · 1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1  =  720. Поскольку вторую букву А в этом случае можно разместить ещё на 5 других позициях, всего слов, в которых одна из букв А стоит на первом месте, будет 6 · 720  =  4320.

Пусть одна буква А стоит на втором месте, а вторая буква А стоит на четвёртом месте, тогда всего таких кодов будет 6 · 1 · 5 · 1 · 4 · 3 · 2 · 1  =  720. Поскольку вторую букву А в этом случае можно разместить ещё на 4 других позициях, всего слов, в которых одна из букв А стоит на втором месте, будет 5 · 720  =  3600.

Заметим, что передвигая первую букву А на следующую позицию, количество мест, на которых может стоять вторая буква А, уменьшается на 1. Тогда для случаев, когда буква А будет стоять на третьей, четвёртой, пятой и шестой позициях, количество кодов равно 720 · 4  =  2880, 720 · 3  =  2160, 720 · 2  =  1440 и 720 · 1  =  720 соответственно.

Таким образом, Светлана может составить 4320 + 3600 + 2880 + 2160 + 1440 + 720  =  15120 кодов.

Ответ: 15120.

Приведём другое решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "СВЕТЛАНА"

ar = itertools.permutations(alphabet, 8) #Размещение

arl = []

for e in ar:

arl.append(list(e))

a = set()

for e in arl:

flag = True

s = ""

for i in range(len(e)-1):

s += e[i]

if e[i] == e[i + 1]:

flag = False

if flag:

a.add(s)

print(len(a))

Приведём другое решение на языке Python.

q = 0

sett = set()

for i1 in 'СВЕТЛАНА':

for i2 in 'СВЕТЛАНА':

for i3 in 'СВЕТЛАНА':

for i4 in 'СВЕТЛАНА':

for i5 in 'СВЕТЛАНА':

for i6 in 'СВЕТЛАНА':

for i7 in 'СВЕТЛАНА':

for i8 in 'СВЕТЛАНА':

a = i1+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8

if a.count('А') == 2 and a.count('С') == 1 and a.count('В') == 1 and a.count('Е') ==1 and a.count('Т')==1 and a.count('Л') == 1 and a.count('Н') == 1:

if i1 != i2 and i2 != i3 and i3 != i4 and i4 != i5 and i5 != i6 and i6 != i7 and i7 != i8 and (not(a in sett)):

sett.add(a)

q += 1

print(q)

33.  

Светлана составляет коды из букв слова РОСОМАХА. Код должен состоять из 8 букв, и каждая буква в нём должна встречаться столько же раз, сколько в заданном слове. Кроме того, в коде не должны стоять рядом две гласные и две согласные буквы. Сколько кодов может составить Светлана?

Решение. Заметим, что алфавит состоит из 6 букв: Р, О, С, М, А, Х. Каждая буква должна встречаться в коде один раз, за исключением букв О и А  — они могут встречаться в коде два раза. Всего гласных букв  — 4, согласных букв  — 4.

Поставим на первую позицию гласную букву, таких слов можно составить 4 · 4 · 3 · 3 · 2 · 2 · 1 · 1  =  576. Поскольку буквы О и А встречаются в коде по 2 раза каждая, получившееся количество слов необходимо поделить на 4, тогда всего получаем 144 слова.

Теперь поставим на первую позицию согласную букву, таких слов можно составить 4 · 4 · 3 · 3 · 2 · 2 · 1 · 1  =  576. Поскольку буквы О и А встречаются в коде по 2 раза каждая, получившееся количество слов необходимо поделить на 4, тогда всего получаем 144 слова.

Таким образом, ответ  — 144 + 144  =  288.

Ответ: 288.

Приведём аналитическое решение Юрия Красильникова.

Из условия ясно, что либо все согласные стоят на чётных местах, а гласные - на нечётных, либо наоборот.

Число способов поставить 4 различные согласные на 4 места, очевидно, 4!, т. е. 24.

Число способов выбрать два места из четырёх для двух гласных «А» - число сочетаний из 4 по 2, т. е.4 · 3/(1 · 2)=6.

(Или по формуле перестановок с повторениями, две пары, всего 4 буквы, перестановок 4!/(2! · 2!)=6.)

Для случая ГСГСГСГС имеем 24 · 6=144 варианта, для случая СГСГСГСГ - столько же, итого 2 · 144=288.

Приведём решение на языке Python.

import itertools

alphabet = "РОСОМАХА"

vol = "ОА"

con = "РСМХ"

ar = itertools.permutations(alphabet, 8) #Размещение

arl = []

for e in ar:

arl.append(list(e))

a = set()

for e in arl:

flag = True

s = ""

for i in range(len(e)-1):

s += e[i]

if (e[i] in vol and e[i+1] in vol) or (e[i] in con and e[i+1] in con):

flag = False

if flag:

a.add(s)

print(len(a))

Приведём другое решение на языке Python.

g=['О','А',]

sog=['Р','С','М','Х']

n=0

for b1 in g:

for b2 in sog:

for b3 in g:

for b4 in sog:

for b5 in g:

for b6 in sog:

for b7 in g:

for b8 in sog:

s=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8

if s.count('Р')==1 and s.count('О')==2 and s.count('С')==1 and s.count('М')==1 and s.count('А')==2 and s.count('Х')==1:

n+=1

print(n*2) # Так как решение для случая, когда первая буква гласная, умножаем на 2, для случая когда первая буква согласная

Приведём решение Бориса Савельева на языке Python.

from itertools import permutations

s = permutations('POCOMAXA', 8)

cnt = 0

for i in s:

p = ''.join(i)

if p.count('PC')==0 and p.count('PM')==0 and p.count('PX')==0:

if p.count('CP') == 0 and p.count('CM') == 0 and p.count('CX') == 0:

if p.count('MP') == 0 and p.count('MC') == 0 and p.count('MX') == 0:

if p.count('XP') == 0 and p.count('XC') == 0 and p.count('XM') == 0:

if p.count('OO') == 0 and p.count('OA') == 0 and p.count('AO') == 0 and p.count('AA') == 0:

cnt += 1

print(cnt//4)

Приведём решение Юрия Красильникова на языке Python.

def good(word):

return all([c in 'АО' for c in word[0::2]]) or all([c in 'АО' for c in word[1::2]])

import itertools

w = list(set([''.join(p) for p in itertools.permutations('РОСОМАХА')]))

r = [x for x in w if good(x)]

print(len(r))

Приведём решение Сергея Донец на языке PascalABC.NET.

begin
'РОСОМАХА'.Permutations(8).Distinct
.Where(s -> not s.IsMatch('[ОА]{2}')) // Нет двух гласных подряд
.Where(s -> not s.IsMatch('[РСМХ]{2}')) // Нет двух согласных подряд
.Count.Print;
end.

34.  

Определите количество пятизначных чисел, записанных в восьмеричной системе счисления, в записи которых только одна цифра 6, при этом никакая нечётная цифра не стоит рядом с цифрой 6.

Решение. В восьмеричной системе счисления всего восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Пусть цифра 6 стоит на первом месте, на втором месте может стоять любая из трёх оставшихся чётных цифр. На остальных позициях может стоять любая из семи оставшихся цифр. Всего чисел получится 1 · 3 · 7 · 7 · 7  =  1029.

Пусть цифра 6 стоит на втором месте. Тогда на первом месте могут стоять другие два чётных числа (0 стоять не может, поскольку число не может начинаться с нуля). На третьем месте может стоять любая из трёх оставшихся чётных цифр. На остальных позициях могут стоять любые из 7 цифр. Всего чисел получится 2 · 1 · 3 · 7 · 7  =  294.

Пусть цифра 6 стоит на третьем месте. Тогда на втором и четвертом месте может стоять любая из оставшихся чётных цифр, на первом месте может стоять любая из 6 цифр (0 стоять не может, поскольку число не может начинаться с нуля), а на оставшихся позициях может стоять любая из 7 цифр. Всего чисел получится 6 · 3 · 1 · 3 · 7  =  378. Столько же чисел получится, если поставить цифру 6 на четвёртое место.

Пусть цифра 6 стоит на последнем месте, на четвёртом месте может стоять любая из трёх оставшихся чётных цифр. На остальных позициях, кроме первой, может стоять любая из семи оставшихся цифр. На первом месте может стоять любая из 6 цифр (0 стоять не может, поскольку число не может начинаться с нуля). Всего чисел получится 6 · 7 · 7 · 3 · 1  =  882.

Таким образом, можно составить всего 1029 + 378 · 2 + 294 + 882  =  2961.

Ответ: 2961.

Приведём решение Александра Козлова на языке Python.

count=0

for x1 in '1234567':

for x2 in '01234567':

for x3 in '01234567':

for x4 in '01234567':

for x5 in '01234567':

s = x1+x2+x3+x4+x5

if s.count('6') == 1:

if '16' not in s and '36' not in s and '56' not in s and '76' not in s:

if '61' not in s and '63' not in s and '65' not in s and '67' not in s:

count+=1

print(count)

Приведём решение Едигарева Фёдора на языке Python.

count = 0

for i in range(1, 34000):

a = str(oct(i))[2:]

if (len(a) == 5) and (a.count('6') == 1):

if a.index('6') in {0, len(a)-1} and int(a[abs(a.index('6') - 1)]) % 2 == 0:

count += 1

elif int(a[a.index('6')- 1]) % 2 == 0 and int(a[a.index('6') + 1]) % 2 == 0:

count += 1

print(count)

Приведём решение Ильи Андрианова на языке Python.

from itertools import product

count = 0

for num in product('01234567', repeat=5):

s = ''.join(num)

if s[0] != '0':

if s.count('6') == 1:

if all(pair not in s for pair in '16 61 36 63 56 65 76 67'.split()):

count += 1

print(count)

Приведём решение Дмитрия Альцева на языке Python.

from itertools import product

count = 0

for num in product('01234567', repeat=5):

if num.count('6') == 1 and num[0] !='0':

x = ''.join(num)

x = x.replace('1','8').replace('3','8').replace('5','8').replace('7','8')

if x.count('86') == 0 and x.count('68') == 0:

count+=1

print(count)

Приведём решение Сергея Донец на языке PascalABC.NET.

begin
'01234567'.Cartesian(5) // 8-ричная 5-значных
.Where(s->s[1] <> '0') // Первой цифрой не может быть 0
.Where(s->s.CountOf('6')=1) //только одна цифра 6
.Where(s->not s.IsMatch('[6][1357]')) // не стоит рядом с цифрой 6
.Where(s->not s.IsMatch('[1357][6]')) // не стоит рядом с цифрой 6
.Count.Print;
end.

35.  

Определите количество семизначных чисел, записанных в девятеричной системе счисления, в записи которых ровно одна цифра 6 и ровно две нечётные цифры.

36.  

Вероника составляет коды из букв слова ВЕРОНИКА. Код должен состоять из 6 букв, любую букву можно использовать произвольное число раз или не использовать вовсе. Вероника хочет, чтобы гласных в каждом коде было больше, чем согласных. Сколько кодов, удовлетворяющих этому условию, она сможет составить?

37.  

Митрофан составляет коды из букв, входящих в слово МИТРОФАН. Код должен состоять из 6 букв, буквы в коде не должны повторяться, согласных в коде должно быть больше, чем гласных, две гласные буквы нельзя ставить рядом. Сколько кодов может составить Митрофан?

Решение. Приведём аналитическое решение Юрия Красильникова.

Имеем 5 согласных и 3 гласных. Поэтому наше слово может содержать либо одну, либо две гласные (если гласных три, то согласных тоже три, что противоречит условию).

Подсчитаем К1  — количество слов, содержащих одну гласную. Выбираем одну гласную из трех и пять согласных из пяти, число способов  — 3. Умножаем на число перестановок. К1  =  3 · 6!=2160.

Подсчитаем К2  — количество слов, содержащих две гласные. Выбираем две гласные из трех и четыре согласных из пяти, число способов  — 3 · 5  =  15. Умножаем на число перестановок. К2  =  15 · 6!  =  10800.

Подсчитаем К2р  — количество слов с двумя гласными, где они стоят рядом. Из трех гласных А, И, О можно образовать шесть пар: АИ, ИА, АО, ОА, ИО, ОИ. Выбираем 4 согласных из пяти, число способов это сделать  — 5. Переставляем четыре согласных и пару гласных (пару  — как единое целое). К2р  =  6 · 5 · 5!  =  3600.

Число слов  — это К1 + К2 − К2р  =  2160 + 10800 − 3600  =  9360.

Приведём решение на языке Python.

s = 'МИТРОФАН'

count = 0

for a in s:

for b in s:

for c in s:

for d in s:

for e in s:

for f in s:

s1 = a + b + c + d + e + f

if s1.count('М') <= 1 and s1.count('И') <= 1 and s1.count('Т') <= 1 and \

s1.count('Р') <= 1 and s1.count('О') <= 1 and s1.count('Ф') <= 1 and \

s1.count('А') <= 1 and s1.count('Н') <= 1 and \

s1.count('М') + s1.count('Т') + s1.count('Р') + s1.count('Ф') +s1.count('Н') > s1.count('И') + s1.count('О') + s1.count('А') and \

s1.count('АА') == 0 and s1.count('АИ') == 0 and s1.count('АО') == 0 and s1.count('ИА') == 0 and s1.count('ОА') == 0 and s1.count('ИО') == 0 and \

s1.count('ОИ') == 0 and s1.count('ОО') == 0 and s1.count('ИИ') == 0:

count += 1

print(count)

Ответ: 9360.

Приведём решение Софии Разаевой на языке Python.

from itertools import *

k = k1 = k2 = 0

c1 = 'ИОА'

c2 = 'МТРФН'

for p in permutations('МИТРОФАН', 6):

s = ''.join(p)

k1, k2 = 0, 0

k1 += (s[0] in c1)

k2 += (s[0] in c2)

for i in range(len(s)-1):

k1 += (s[i+1] in c1)

k2 += (s[i+1] in c2)

if s[i] in c1 and s[i+1] in c1:

break

else:

if k2 > k1:

k += 1

print(k)

Приведём решение Ильи Андрианова на языке Python.

from itertools import *

cnt = 0

for p in permutations('МИТРОФАН', r=6):

slovo = ''.join(p)

sogl = [x for x in slovo if x in 'МТРФН']

glas = [x for x in slovo if x in 'ИОА']

if len(sogl) > len(glas):

slovo = slovo.replace('О', 'А').replace('И', 'А')

if 'АА' not in slovo:

cnt += 1

print(cnt)

Приведём решение Бориса Савельева на языке Python.

import itertools

k=0

glas='ИОА'

for p in itertools.permutations('МИТРОФАН',6):

if sum([c in glas for c in p]) < 3 and sum([(p[i] in glas and p[i+1] in glas) for i in range(5)]) == 0:

k+=1

print(k)

Приведём решение Юрия Красильникова на языке Python.

from itertools import*

s=permutations('МИТРОФАН', 6)

k=0

for i in s:

p=''.join(i)

if (p.count('М')+p.count('Т')+p.count('Р')+p.count('Ф')+p.count('Н')>p.count('И')+p.count('О')+p.count('А')):

if p.count('ИО')==0 and p.count('ИА')==0 and p.count('ОИ')==0 and p.count('ОА')==0 and p.count('АИ')==0 and p.count('АО')==0:

k+=1

print(k)

38.  

Определите количество чисел, для записи которых в восьмеричной системе счисления требуется ровно 11 цифр, ровно 3 из которых  — нечётные, и никакие две нечётные цифры не стоят рядом.

39.  

Сколько существует различных трёхзначных чисел, записанных в шестиричной системе счисления, в записи которых цифры следуют слева направо в невозрастающем порядке?

40.  

Сколько существует восьмеричных пятизначных чисел, не содержащих в своей записи цифру 1, в которых все цифры различны и никакие две чётные или две нечётные цифры не стоят рядом?

Решение. Приведём аналитическое решение Юрия Красильникова.

Если первая цифра числа четная, то имеется 3 способа её выбрать (цифра 2, 4 или 6). Вторая цифра может быть одной из цифр 3, 5 или 7 - т. е. три варианта. Для третьей цифры имеется три варианта выбора (цифру на первом месте мы выбирать не можем, но можем выбрать цифру 0). Для четвертой цифры - два варианта, для пятой - также два. Итого 3*3*3*2*2=108 чисел.

Если первая цифра нечётная, то имеется три способа выбора (3, 5 или 7). Вторую цифру можно выбрать четырьмя способами (все чётные цифры). Третью цифру - двумя способами, четвёртую - тремя и пятую - одним. Итого 3*4*2*3*1=72 варианта.

Всего имеется 108+72=180 различных чисел.

Приведём решение на языке Python.

s = '01234567'

count = 0

for a in '1234567':

for b in s:

for c in s:

for d in s:

for e in s:

r = a + b + c + d + e

if r.count('1') < 1 and r.count('0') <= 1 and r.count('2') <= 1 and \

r.count('3') <= 1 and r.count('4') <= 1 and r.count('5') <= 1 and \

r.count('6') <= 1 and r.count('7') <= 1 and \

r.count('00') == r.count('22') == r.count('44') == r.count('66') == 0 and \

r.count('02') == r.count('20') == r.count('04') == r.count('40') == 0 and \

r.count('06') == r.count('60') == r.count('24') == r.count('42') == 0 and \

r.count('46') == r.count('64') == r.count('26') == r.count('62') == 0 and \

r.count('33') == r.count('55') == r.count('77') == r.count('35') == 0 and \

r.count('53') == r.count('37') == r.count('73') == r.count('57') == 0 and \

r.count('75') == 0:

count += 1

print(count)

Ответ: 180.

Приведём решение Юрия Красильникова на языке Python.

from itertools import permutations

def good(s):

return s[0]!='0' and all([(s[i] in '357')!=(s[i+1] in '357') for i in range(len(s)-1)])

print(len([p for p in permutations('0234567',5) if good(p)]))

Приведём решение Виктории Зиберовы на языке Python.

count = 0

for num in range(4096,32768):

r=oct(num)[2:]

if r.count('1') == 0:

for c in range (len(r)-1):

if (int(r[c])%2)==(int(r[c+1])%2) or r.count(r[c]) > 1:

break

if c == len(r)-2:

count += 1

print(count)

Приведём решение Софии Разаевой на языке Python.

from itertools import *

k = 0

c1 = '0246'

c2 = '1357'

for p in permutations('0234567', 5):

s = ''.join(p)

for i in range(len(s)-1):

if s[i] in c1 and s[i+1] in c1 or s[i] in c2 and s[i+1] in c2:

break

else:

if s[0] != '0':

k += 1

print(k)

Приведём решение Валерия Протасова на языке Python.

from itertools import*

k=0

for x in permutations('0234567',r = 5):

if x[0]!='0':

s=''.join(x)

s = s.replace('5','3').replace('7','3')

s = s.replace('2','0').replace('4','0').replace('6','0')

if '33' not in s and '00' not in s:

k+=1

print(k)

Приведём решение Сергея Донец на языке PascalABC.NET.

begin
'01234567'.Permutations(5) // 8-ричная 5-значных
.Where(s->s[1] <> '0')// Первой цифрой не может быть 0
.Where(s->'1' not in s)
.Where(s->not s.IsMatch('[0246][0246]'))
.Where(s->not s.IsMatch('[1357][1357]'))
.Count.Print; 
end.

41.  

Сколько существует 11-⁠значных девятеричных чисел, в записи которых не встречается цифра 0, любые две соседние цифры имеют разную чётность, и никакая цифра не повторяется больше 4 раз?

Решение. Приведём аналитическое решение Юрия Красильникова.

Из условия ясно, что число может выглядеть как ЧНЧНЧНЧНЧНЧ либо как НЧНЧНЧНЧНЧН (Ч - чётная цифра, Н - нечётная).

И чётных и нечётных цифр по 4 (2, 4, 6, 8 и 1, 3, 5, 7), поэтому тех и других чисел одинаковое количество.

Рассмотрим случай ЧНЧНЧНЧНЧНЧ, т. е. число содержит 6 чётных и 5 нечётных цифр.

Для 5 нечетных цифр возможно 4**5=1024 различных вариантов, из которых 4 (11111, 33333, 55555 и 77777) содержат более 4 одинаковых цифр. Итого вариантов для нечётных цифр, когда одинаковых цифр не более 4, 1024-4=1020.

Для 6 четных цифр возможно 4**6=4096 вариантов. Из них нас не устраивают 4 варианта из 6 одинаковых цифр, а также варианты, когда 5 цифр одинаковы, а 6-я отлична от них. Таких вариантов 6*4*3=72 (6 мест для уникальной цифры, 4 способа её выбрать и 3 способа выбрать цифру, повторяющуюся 5 раз). Итого устраивающих нас вариантов 4096-4-72=4020.

Комбинируя количество вариантов для нечётных цифр с количеством вариантов для чётных, получаем 1020*4020=4100400 вариантов.

Чисел вида НЧНЧНЧНЧНЧН столько же, поэтому общее количество - это 4100400*2=8200800.

Приведём решение на языке Python.

from itertools import *

c1 = '1357'

c2 = '2468'

count = 0

for i in product(c1,c2,c1,c2,c1,c2,c1,c2,c1,c2,c1):

s = ''.join(i)

if s.count('1') < 5 and s.count('2') < 5 and s.count('3') < 5 and s.count('4') < 5 and s.count('5') < 5 and s.count('6') < 5 and s.count('7') < 5 and s.count('8') < 5:

count += 1

print(count * 2)

Ответ: 8200800.

Приведём решение Михаила Глинского на языке Python.

from itertools import *

c1 = '1357'

c2 = '2468'

count = 0

for i in product(c1,c2,c1,c2,c1,c2,c1,c2,c1,c2,c1):

s = ''.join(i)

flag = 1

for i in range(10):

if s.count (str(i)) > 4:

flag = 0

break

if flag:

count += 1

print(count * 2)

Приведём решение Юрия Красильникова на языке Python.

from itertools import product

m = len([p for p in product('1357',repeat=5) if max([p.count(x) for x in p])<=4])

n = len([p for p in product('2468',repeat=6) if max([p.count(x) for x in p])<=4])

print( 2*m*n )

Приведём решение Сергея Донец на PascalABC.NET:

begin

var oddChars := '1357'; // Строка с нечётными цифрами

var evenChars := '2468'; // Строка с чётными цифрами

// m: количество комбинаций 5 нечётных с max повторений <=4

var m := oddChars.CartesianPower(5)

.Where(combo -> combo.GroupBy(c -> c).Max(g -> g.Count) <= 4)

.Count;

// n: количество комбинаций 6 чётных с max повторений <=4

var n := evenChars.CartesianPower(6)

.Where(combo -> combo.GroupBy(c -> c).Max(g -> g.Count) <= 4)

.Count;

Print(2 * m * n); // 8200800

end.

42.  

Все десятибуквенные коды, составленные из букв, входящих в слово СКАНЕР, расположены в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Начало списка выглядит так:

1.  АААААААААА

2.  АААААААААЕ

3.  АААААААААК

4.  АААААААААН

5.  АААААААААР

Определите количество кодов, для которых одновременно выполнены следующие условия:

1)  номер кода в списке делится на 3;

2)  первая буква кода  — согласная;

3)  код содержит ровно одну букву Р.

43.  

Определите количество 9-⁠ричных 6-⁠значных чисел, которые не начинаются с нечетных цифр, не оканчиваются цифрами 2 или 3, содержат не менее двух цифр 1.

Решение. Приведём аналитическое решение Юрия Красильникова.

Девятеричных чисел, которые начинаются на четные цифры и не заканчиваются на 2 или 3, имеется 4 · 9⁴ · 7=183708.

Вычтем количество чисел, которые не содержат единиц или содержат одну единицу.

Чисел, не содержащих единиц, 4 · 8⁴ · 6=98304.

Чисел, которые содержат одну единицу на 2-м месте, 4 · 8³ · 6=12288.

Столько же чисел содержит одну единицу на 3-м, 4-м и 5-м местах.

Наконец, чисел, которые содержат единицу на последнем месте, 4 · 8⁴=16384.

А чисел, отвечающих условию задачи, 183708-98304-4 · 12288-16384=19868.

Приведём решение на языке Python.

count = 0

for x1 in "2468":

for x2 in "012345678":

for x3 in "012345678":

for x4 in "012345678":

for x5 in "012345678":

for x6 in "0145678":

s = x1+x2+x3+x4+x5+x6

if s.count("1") >= 2:

count += 1

print(count)

Ответ: 19 868.

Приведём решение Вячеслава Горбунова на языке Python.

from itertools import *

count = 0

for x in product('012345678',repeat=6):

s=''.join(x)

if s[0] != '0' and s[0] != '1' and s[0] != '3' and s[0] != '5'and s[0] != '7'and s[-1] != '2' and s[-1] != '3' and s.count('1') >= 2:

count += 1

print(count)

Приведём решение Юрия Красильникова на языке Python.

import itertools

a = [p for p in itertools.product('012345678',repeat=6) if p[0] in '2468' and not p[-1] in '23' and p.count('1')>=2]

print(len(a))

44.  

Определите количество 12-⁠ричных шестизначных чисел, в записи которых ровно одна цифра 7 и не более трёх цифр с числовым значением, превышающих 9.

45.  

Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 855 000 000, запись которых в системе счисления с основанием 15 содержит ровно 8 различных цифр?

46.  

Все 5⁠-⁠буквенные слова, в составе которых могут быть только буквы Э, Л, Ь, Б, Р, У, С, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы.

Вот начало списка:

1.  БББББ

2.  ББББЛ

3.  ББББР

4.  ББББС

5.  ББББУ

6.  ББББЬ

...

Под каким номером в списке идёт последнее слово c чётным номером, которое содержит не менее двух букв С, одну букву Л и не содержит букв Э, стоящих рядом?

47.  

Все 5⁠-⁠буквенные слова, в составе которых могут быть только буквы К, Р, О, В, А, Т, Ь, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы.

Вот начало списка:

1.  ААААА

2.  ААААВ

3.  ААААК

4.  ААААО

5.  ААААР

6.  ААААТ

...

Под каким номером в списке идёт последнее слово c нечётным номером, которое содержит не более одной буквы Т, две буквы В и не содержит букв Ь, стоящих рядом?

Г {ЕПАРД} {ЕПАРД} {ЕПАРД} {ПАРД}	$1 умножить на 5 умножить на 5 умножить на 5 умножить на 4 = 500$
{ЕПРД} Г {ЕПАРД} {ЕПАРД} {ПАРД}	$4 умножить на 1 умножить на 5 умножить на 5 умножить на 4 = 400$
{ЕПРД} {ЕПАРД} Г {ЕПАРД} {ПАРД}	$4 умножить на 5 умножить на 1 умножить на 5 умножить на 4 = 400$
{ЕПРД} {ЕПАРД} {ЕПАРД} Г {ПАРД}	$4 умножить на 5 умножить на 5 умножить на 1 умножить на 4 = 400$
{ЕПРД} {ЕПАРД} {ЕПАРД} {ЕПАРД} Г	$4 умножить на 5 умножить на 5 умножить на 5 умножить на 1 = 500$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	7667	162
2	7986	256
3	8098	405
4	9361	80
5	9760	324
6	7306	216
7	11306	500
8	13459	128
9	13486	162
10	13540	5400
11	14225	100
12	16037	160
13	16439	729
14	16886	504
15	17328	144
16	18079	192
17	18491	48
18	18558	781
19	26953	504
20	26982	1296
21	27009	1866
22	27268	480
23	27379	48
24	27539	1440
25	28685	128
26	29195	1080
27	33180	10476
28	33510	8006
29	35982	6075
30	36021	4352
31	37143	2200
32	40724	15120
33	46966	288
34	47212	2961
35	48429	368640
36	51977	90112
37	55595	9360
38	56508	293601280
39	58241	55
40	60250	180
41	63024	8200800
42	68241	4531250
43	69886	19868
44	69912	888669
45	75245	69189120
46	78033	15948
47	78064	16277

Ключ