Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 738 000 000, запись которых в системе счисления с основанием 14 содержит ровно 8 различных цифр?
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 855 000 000, запись которых в системе счисления с основанием 15 содержит ровно 8 различных цифр?
Переведем число 855 000 000 в систему счисления с основанием 15:
n = 855_000_000
a = '0123456789abcde'
cc15 = ''
while n != 0:
cc15 = a[n%15] + cc15
n //= 15
print(cc15)
Получим число 500DD50015. Следовательно, не может быть числа с неповторяющимися числами начинающегося с числа больше 4. Тогда на первом месте может стоять одно из чисел ряда 1234, на втором месте любое из оставшихся чисел, кроме повторяющегося, всего 14 вариантов. На третьем месте любое из оставшихся чисел, кроме повторяющегося, всего 13 вариантов и т. д.
Тогда количество натуральных чисел, не превышающих 855 000 000, запись которых в системе счисления с основанием 15 содержит ровно 8 различных цифр равно: 4 · 14 · 13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 69 189 120.
Ответ: 69 189 120.
Приведём решение на языке Python.
from itertools import permutations
count = 0
for p in permutations('0123456789abcde', r = 8):
if p[0] in '1234':
if int(''.join(p),15) <= 855000000:
count += 1
print(count)