Знаком ~ обозначается операция эквивалентности (результат X ~ Y — истина, если значения X и Y совпадают).

Введем обозначения:

Тогда, применив преобразование импликации, получаем:

Выражение ¬(P ~ Q) истинно только тогда, когда x ∈ [5; 14) и x ∈ (23; 30] (см. рисунок). В таком случае, для того, чтобы выражение было истинно при любом x, A должно лежать либо в промежутке [5; 14), либо (23; 30]. Следовательно, наибольшая возможная длина промежутка равна 14 − 5 = 9.

Ответ: 9.

Преобразуем данное выражение:

Таким образом, либо x должен принадлежать Q, либо не принадлежать A. Это значит, что для достижения истинности для всех x, необходимо, чтобы A полностью содержался в Q. Тогда максимум, каким он сможет стать, это всем Q, то есть длиной 15.

Ответ: 15.

Примечание.

О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.

Раскроем дважды импликацию, получим: ¬(x ∈ P) ∨ (¬((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A)) ∨ ¬(x ∈ P)).

Используем Законы де Моргана, имеем: ¬(x ∈ P) ∨ ¬(x ∈ Q) ∨ (x ∈ A).

Первое и второе выражения принимают значение 0 тогда, когда x лежит в обоих отрезках. Поэтому подходят все значения переменной такие, что 150<=x<=171. Таким и нужно задать отрезок A, его длина 21.

Примечание.

В отрезке [150; 171] содержится 22 целых числа. Длина этого отрезка 21.

Введём обозначения A = ДЕЛ(x, А), P = ДЕЛ(x, 6) и Q = ДЕЛ(x, 4)

Введём множества:

A — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A

P — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие P

Q — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие Q

истинным для всех X должно быть выражение

Упростим это выражение, раскрыв импликацию по правилу

из этой формулы видно, что множество A должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством  то есть перекрыть множество Множество P · Q — это множество всех чисел, которые делятся одновременно на 4 и 6 (все числа, кратные 4 и 6), то есть, 12, 24, 36 и т. д. (заметим, что 12 — это наименьшее общее кратное чисел 4 и 6). Для того, чтобы перекрыть эти числа, можно выбрать в качестве A любой делитель числа 12, то есть, 1, 2, 3, 4, 6 или 12; наибольшее из этих чисел — 12.

Ответ: 12.

Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Применив преобразование импликации, получаем:

Применив закон де Моргана и правило упрощения, получаем:

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хоть какое-то из утверждений. Выражение ¬P истинно тогда, когда x∈(−∞,17)U(46,∞), а выражение ¬Q истинно тогда, когда x∈(–∞,22)U(57,∞). Следовательно, A должно быть истинно как минимум на отрезке [22; 46]. Длина отрезка равна 46 − 22 = 24.

Ответ: 24.

Примечание.

О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.