Введём обо­зна­че­ния: A = ДЕЛ(x, А), D₂₁ = ДЕЛ(x, 21), D₃₅ = ДЕЛ(x, 35) и D_N = ДЕЛ(x, N).

Введём мно­же­ства:

A  — мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие A,

D₂₁  — мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие D₂₁,

D₃₅  — мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие D₃₅,

…

Тогда ис­ход­ное вы­ра­же­ние

при­ни­ма­ет вид от­ку­да в силу пра­ви­ла по­лу­ча­ем:

За­ме­тим, что вто­рое сла­га­е­мое при­ни­ма­ет зна­че­ние 0 для чисел крат­ных 21 или 35, то есть для чисел вида 21k и 35n, где k и n на­ту­раль­ные. Чтобы ло­ги­че­ская сумма была тож­де­ствен­но ис­тин­ной, для чисел ука­зан­но­го вида пер­вое сла­га­е­мое долж­но об­ра­щать­ся в 1. Сле­до­ва­тель­но, число А долж­но быть таким, чтобы любое из чисел 21k и 35n де­ли­лось на него на­це­ло. Общие де­ли­те­ли чисел 21k и 35n, не за­ви­ся­щие от k и n,  — суть числа 1 и 7. Наи­боль­шее из них равно 7.

Ответ: 7.

При­ме­ча­ние.

Если бы тре­бо­ва­лось опре­де­лить наи­мень­шее на­ту­раль­ное А, обес­пе­чи­ва­ю­щее ис­тин­ность ис­ход­но­го вы­ра­же­ния для всех чисел Х, можно было бы на­чать ана­лиз с наи­мень­ше­го на­ту­раль­но­го числа  — с числа 1, и убе­дить­ся, что оно и яв­ля­ет­ся ис­ко­мым: по­сыл­ка им­пли­ка­ции для числа 1 ложна, а зна­чит, сама им­пли­ка­ция ис­тин­на.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние на языке Python.

При­ведём ре­ше­ние Сер­гея Донец на языке PascalABC.NET.

begin
var d:=21*35;//пе­ре­мно­жа­ем име­ю­щи­е­ся числа
for var A := d downto 1 do
if(1..d).All(x->not x.Divs(A)<=(not x.Divs(21)and not x.Divs(35)))
then begin A.Print;break end
end.