СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Информатика
≡ информатика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 9321

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

 

¬ДЕЛ(x, А) → (¬ДЕЛ(x, 21) ∧¬ ДЕЛ(x, 35))

 

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

(Задание М. В. Кузнецовой)

Решение.

Введём обозначения: A = ДЕЛ(x, А), D21 = ДЕЛ(x, 21), D35 = ДЕЛ(x, 35) и DN = ДЕЛ(x, N).

Введём множества:

A — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A,

D21 — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D21,

D35 — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D35,

Тогда исходное выражение

¬ДЕЛ(x, А) → (¬ДЕЛ(x, 21) ∧¬ ДЕЛ(x, 35))

 

принимает вид откуда в силу правила получаем:

 

 

Заметим, что второе слагаемое принимает значение 0 для чисел кратных 21 или 35, то есть для чисел вида 21k и 35n, где k и n натуральные. Чтобы логическая сумма была тождественно истинной, для чисел указанного вида первое слагаемое должно обращаться в 1. Следовательно, число А должно быть таким, чтобы любое из чисел 21k и 35n делилось на него нацело. Общие делители чисел 21k и 35n, не зависящие от k и n, — суть числа 1 и 7. Наибольшее из них равно 7.

 

Ответ: 7.

 

Примечание.

Если бы требовалось определить наименьшее натуральное А, обеспечивающее истинность исходного выражения для всех чисел Х, можно было бы начать анализ с наименьшего натурального числа — с числа 1, и убедиться, что оно и является искомым: посылка импликации для числа 1 ложна, а значит, сама импликация истинна.


Аналоги к заданию № 8106: 9320 9321 9322 Все

Спрятать решение · Прототип задания · · Видеокурс ·
Андрей Андреев 13.06.2015 14:07

Обозначим функцию как D%аргумент_m% и упростим эквивалентными выражениями

!DA -> (!D21&&!D35) ==

!DA -> !(D21||D35) == // Закон де Моргана

(D21||D35) -> DA == // Закон контрапозиции

!(D21||D35) || DA // Свойство импликации

Из последнего следует, что DA должно быть истинно, когда натуральное число x делится на 21 или 35, чтобы получить тождество. Значит, А должно делить x нацело, если оно делится на 21 или 35 нацело. Максимальное такое число это НОД 21 и 35, то есть 7.