Со­ста­вим урав­не­ние: где n  — ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Ис­хо­дя из урав­не­ния,

Со­ста­вим урав­не­ние:

где n - ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Ис­хо­дя из урав­не­ния,

Ответ: 7.

За­пи­шем фор­му­лу пре­об­ра­зо­ва­ния числа, за­пи­сан­но­го в n си­сте­ме счис­ле­ния как 264 в де­ся­тич­ное число 144.

Решим это квад­рат­ное урав­не­ние. Его корни: 7, -10. Так как ос­но­ва­ни­ем си­сте­мы счис­ле­ния не может быть от­ри­ца­тель­ное число, ответ  — 7.

Со­ста­вим урав­не­ние:

где n - ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Ис­хо­дя из урав­не­ния,

Ре­ше­ние.

Со­ста­вим урав­не­ние: где n - ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Ис­хо­дя из урав­не­ния,

Со­ста­вим урав­не­ние: 111_n  =  1 · n² + 1 · n¹ + 1 · n⁰  =  13₁₀, где n— ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Урав­не­ние n ² + n − 12  =  0 имеет два корня: 3 и −4. Таким об­ра­зом, ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния  — 3.

Ответ: 3.

Со­ста­вим урав­не­ние: 111_n  =  1 · n² + 1 · n¹ + 1 · n⁰  =  57₁₀, где n  — ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Урав­не­ние n ² + n − 56  =  0 имеет два корня: 7 и −8. Таким об­ра­зом, ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния  — 7.

Ответ: 7.

Со­ста­вим урав­не­ние: 110_n  =  1 · n² + 1 · n¹ + 0 · n⁰  =  12₁₀, где n— ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Урав­не­ние n² + n − 12  =  0 имеет два корня: −4 и 3. Таким об­ра­зом, ос­но­ва­ние ис­ко­мой си­сте­мы счис­ле­ния  — 3.

Ответ: 3.

Со­ста­вим урав­не­ние: где n  — ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Ис­хо­дя из урав­не­ния,

На­пи­шем фор­му­лу пе­ре­во­да де­ся­тич­но­го числа 63 в си­сте­му счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем N, в ко­то­рой оно за­пи­сы­ва­ет­ся как 120.

Те­перь мы имеем квад­рат­ное урав­не­ние с одним не­из­вест­ным, решив ко­то­рое мы най­дем N.

Так как N долж­но быть на­ту­раль­ным, ответ: 7.

Со­ста­вим урав­не­ние:

где n  — ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. У этого урав­не­ния есть два корня, и Так как ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния долж­но быть целым и не­от­ри­ца­тель­ным,

Пусть   — ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния, тогда Решая квад­рат­ное урав­не­ние по­лу­ча­ем Нам под­хо­дит толь­ко

За­пи­шем урав­не­ние:

Число 77 крат­но 11 и 7, ос­но­ва­ние 11 не под­хо­дит, по­сколь­ку в дан­ной си­сте­ме счис­ле­ния, число 81 будет двух­знач­ным. Сле­до­ва­тель­но, ответ 7.

Ответ: 7.

За­пи­шем урав­не­ние:

Число 55 крат­но 11 и 5, ос­но­ва­ние 11 не под­хо­дит, по­сколь­ку в дан­ной си­сте­ме счис­ле­ния, число 59 будет двух­знач­ным. Сле­до­ва­тель­но, ответ 5.

Ответ: 5.