Так как число в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 4 кон­ча­ет­ся на 11, то ис­ко­мое число в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния при де­ле­нии на 4 долж­но да­вать оста­ток 1 (т. е. y  — любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число, x  — ис­ко­мое число) и част­ное от этого де­ле­ния y также долж­но да­вать оста­ток 1 при де­ле­нии на 4 (т. е. z  — любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число). Сле­до­ва­тель­но,

При

При

При

зна­чит,

Ответ: 5, 21.

Так как число в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем N кон­ча­ет­ся на 11, то число 31 в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния при де­ле­нии на N долж­но да­вать оста­ток 1 (т. е. y  — любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число, N  — ос­но­ва­ние ис­ко­мой си­сте­мы счис­ле­ния) и част­ное от этого де­ле­ния y также долж­но да­вать оста­ток 1 при де­ле­нии на N (т. е. z  — любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число). Сле­до­ва­тель­но, где z  — не­от­ри­ца­тель­ное целое число, а

Иначе го­во­ря, долж­но быть крат­ным От­бро­сим сразу те N, ко­то­рые при вы­чи­та­нии из 30 дают про­стые числа,а также те, квад­ра­ты ко­то­рых боль­ше 30: 1, 6, 7, 8, 9, 10, и так далее до бес­ко­неч­но­сти. Но при этом 30 тоже яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем дан­ной за­да­чи, так как 30 – осо­бый слу­чай, ведь Итого оста­ет­ся еще 2, 3, 4 и 5. Из них под­хо­дят 2, 3, 5.

Ответ: 2,3,5,30.

по­то­му, что в си­сте­мах с мень­шим ос­но­ва­ни­ем нет цифры 3.

2.  Так как число в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем N кон­ча­ет­ся на 13, то число 71 в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния при де­ле­нии на N долж­но да­вать оста­ток 3 (т. е. y  — любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число, N  — ис­ко­мое ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния), а част­ное от этого де­ле­ния y долж­но да­вать оста­ток 1 при де­ле­нии на N (т. е. z - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число). Сле­до­ва­тель­но,

3.  Опре­де­лим наи­боль­шее воз­мож­ное z с уче­том усло­вия Из урав­не­ния сле­ду­ет, что Чем мень­ше N, тем боль­ше z, по­это­му зна­че­ние z не пре­вы­ша­ет

4.  Оста­ет­ся рас­смот­реть все до­пу­сти­мые зна­че­ния z (от 0 до 4), решая для каж­до­го из них урав­не­ние от­но­си­тель­но N, при­чем нас ин­те­ре­су­ют толь­ко на­ту­раль­ные числа

По­лу­ча­ем:

а)  при

б)при ре­ше­ния  — не целые числа;

в)  при и усло­вию на­ту­раль­но­сти N со­от­вет­ству­ет толь­ко пер­вое ре­ше­ние.

Ответ: 4, 68.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что при за­пи­си числа 71 в си­сте­мах счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 29 и 58 млад­ший раз­ряд также равен 13, но он будет за­пи­сан одной циф­рой Е.

Так как число в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 3 кон­ча­ет­ся на 22, то ис­ко­мое число x в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния при де­ле­нии на 3 долж­но да­вать оста­ток 2 (т. е. y - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число, x - ис­ко­мое число) и част­ное от этого де­ле­ния y также долж­но да­вать оста­ток 2 при де­ле­нии на 3 (т. е. z - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число). Сле­до­ва­тель­но,

При При При При зна­чит,

Ответ: 8, 17, 26.

1.   по­то­му, что в си­сте­мах с мень­шим ос­но­ва­ни­ем нет цифры 3.

2.  Так как число в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем N кон­ча­ет­ся на 23, то число 63 в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния при де­ле­нии на N долж­но да­вать оста­ток 3 (т. е. y - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число, N - ис­ко­мое ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния), либо 23 (т. е. ).

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай:

а)  Част­ное от этого де­ле­ния y долж­но да­вать оста­ток 2 при де­ле­нии на N (т. е. z - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число). Сле­до­ва­тель­но,

б)  Опре­де­лим наи­боль­шее воз­мож­ное z с уче­том усло­вия Из урав­не­ния сле­ду­ет, что Чем мень­ше N, тем боль­ше z, по­это­му зна­че­ние z не пре­вы­ша­ет Так как z - целое не­от­ри­ца­тель­ное число, то можно счи­тать, что z не пре­вы­ша­ет 3.

в)  Оста­ет­ся рас­смот­реть все до­пу­сти­мые зна­че­ния z (от 0 до 3), решая для каж­до­го из них урав­не­ние от­но­си­тель­но N, при­чем нас ин­те­ре­су­ют толь­ко на­ту­раль­ные числа

г)  По­лу­ча­ем:

— при

— при ре­ше­ния  — не целые числа;

— при и усло­вию на­ту­раль­но­сти N со­от­вет­ству­ет толь­ко пер­вое ре­ше­ние.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай. Для этого урав­не­ния N по­лу­ча­ет­ся целым толь­ко при Но в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 40 число 63 за­пи­сы­ва­ет­ся как 1N, что не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию.

Ответ: 5, 30.

Так как число в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 3 кон­ча­ет­ся на 21, то ис­ко­мое число x в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния при де­ле­нии на 3 долж­но да­вать оста­ток 1 (т. е. y - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число, x - ис­ко­мое число), а част­ное от этого де­ле­ния y долж­но да­вать оста­ток 2 при де­ле­нии на 3 (т. е. z - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число). Сле­до­ва­тель­но,

При При При При зна­чит,

Ответ: 7, 16, 25.

Так как число в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 5 кон­ча­ет­ся на 11, то ис­ко­мое число x в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния при де­ле­нии на 5 долж­но да­вать оста­ток 1 (т. е. y - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число, x - ис­ко­мое число) и част­ное от этого де­ле­ния y также долж­но да­вать оста­ток 1 при де­ле­нии на 5 (т. е. z - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число). Сле­до­ва­тель­но,

При При При При При зна­чит,

Ответ: 6, 31, 56, 81.

Так как число 61 в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем N кон­ча­ет­ся на 15, то число 61 в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния при де­ле­нии на N долж­но да­вать оста­ток 5 (т. е. y - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число, N - ос­но­ва­ние ис­ко­мой си­сте­мы счис­ле­ния) и част­ное от этого де­ле­ния y долж­но да­вать оста­ток 1 при де­ле­нии на N (т. е. z - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число). Сле­до­ва­тель­но, где

Иначе го­во­ря, долж­но быть крат­ным От­бро­сим сразу те N, ко­то­рые при вы­чи­та­нии из 56 дают про­стые числа, а также те, квад­ра­ты ко­то­рых боль­ше 56, т. е. от 8 до бес­ко­неч­но­сти.

Но при этом 56 тоже яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем дан­ной за­да­чи, так как 56 – осо­бый слу­чай, ведь

Итого оста­ет­ся еще 6 и 7. Из них под­хо­дит толь­ко 7.

Ответ: 7,56.

Так как число 75 в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем N кон­ча­ет­ся на 13, то число 75 в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния при де­ле­нии на N долж­но да­вать оста­ток 3 (т. е. y - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число, N - ос­но­ва­ние ис­ко­мой си­сте­мы счис­ле­ния) и част­ное от этого де­ле­ния y долж­но да­вать оста­ток 1 при де­ле­нии на N (т. е. z - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число). Сле­до­ва­тель­но, где

Иначе го­во­ря, долж­но быть крат­ным От­бро­сим сразу те N, ко­то­рые при вы­чи­та­нии из 72 дают про­стые числа, а также те, квад­ра­ты ко­то­рых боль­ше 72: 1, 5, 9, 10, и так далее до бес­ко­неч­но­сти.

Но при этом 72 тоже яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем дан­ной за­да­чи, так как 72 – осо­бый слу­чай, ведь

Итого оста­ет­ся еще 2, 3, 4, 6, 7 и 8. Из них под­хо­дит толь­ко 8.

Ответ: 8, 72.

При­ме­ча­ние.

Не­ко­то­рые чи­та­те­ли могут по­ду­мать, что под­хо­дят также ос­но­ва­ния 31 и 62, по­сколь­ку после де­ле­ния остаётся оста­ток «13», ко­то­рый, ка­за­лось бы, даёт же­ла­е­мую трой­ку на конце. Но этот оста­ток пред­став­ля­ет­ся в ука­зан­ных си­сте­мах счис­ле­ния одним сим­во­лом, бук­вой D, то есть число не будет окан­чи­вать­ся на по­сле­до­ва­тель­ность цифр 13.