Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 63 оканчивается на 23.
1. 
потому, что в системах с меньшим основанием нет цифры 3.
2. Так как число в системе счисления с основанием N кончается на 23, то число 63 в десятичной системе счисления при делении на N должно давать остаток 3 (т. е. 
y - любое целое неотрицательное число, N - искомое основание системы счисления), либо 23 (т. е. 
).
Рассмотрим первый случай:
а) Частное от этого деления y должно давать остаток 2 при делении на N (т. е. 
z - любое целое неотрицательное число). Следовательно, 
б) Определим наибольшее возможное z с учетом условия 
Из уравнения 
следует, что 
Чем меньше N, тем больше z, поэтому значение z не превышает 
Так как z - целое неотрицательное число, то можно считать, что z не превышает 3.
в) Остается рассмотреть все допустимые значения z (от 0 до 3), решая для каждого из них уравнение относительно N, причем нас интересуют только натуральные числа
г) Получаем:
— при 
— при 
решения — не целые числа;
— при 
и 
условию натуральности N соответствует только первое решение.
Рассмотрим второй случай. Для этого уравнения 
N получается целым только при 
Но в системе счисления с основанием 40 число 63 записывается как 1N, что не удовлетворяет условию.
Ответ: 5, 30.