Исполнитель Май16 преобразует число на экране.
У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:
1. Прибавить 1
2. Умножить на 2
Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на 2. Программа для исполнителя Май16 – это последовательность команд.
Сколько существует программ, для которых при исходном числе 2 результатом является число 31 и при этом траектория вычислений содержит число 15 и не содержит числа 22?
Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 16, 17.
Для ответа на задачу нужно найти количество программ, которые из 2 получают 15, количество программ, которые из 15 получают 31, не проходя через число 22, и перемножить найденные значения. Сначала найдём количество программ, получающих 15.
Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 2 в число n.
Верны следующие соотношения:
1. Если n не делится на 2, то тогда R(n) = R(n - 1), так как существует единственный способ получения n из n - 1 — прибавление единицы.
2. Пусть n делится на 2.
Тогда R(n) = R(n / 2) + R(n - 1).
Теперь можно постепенно вычислить все значения:
R(2) = R(3) = 1,
R(4) = R(2) + R(3) = 1 + 1 = 2 = R(5),
R(6) = R(3) + R(5) = 1 + 2 = 3 = R(7),
R(8) = R(4) + R(7) = 2 + 3 = 5 = R(9),
R(10) = R(5) + R(9) = 2 + 5 = 7 = R(11),
R(12) = R(6) + R(11) = 3 + 7 = 10 = R(13),
R(14) = R(7) + R(13) = 3 + 10 = 13 = R(15).
То есть всего 13 программ, получающих из числа 2 число 15.
Из числа 15, не проходя через 22, число 31 можно получить только одним способом: удвоением 15 и прибавлением единицы.
Таким образом, нужных нам программ: 13 · 1 = 13.
Ответ: 13.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x > y or x == 22:
return 0
if x == y:
return 1
else:
return f(x + 1, y) + f(x * 2, y)
print(f(2, 15) * f(15, 31))