СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Информатика
≡ информатика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 22 № 10485

Исполнитель Удвоитель преобразует число на экране.

У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1

2. Умножить на 2

Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на 2. Программа для исполнителя Удвоитель — это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 3 результатом является число 25 и при этом траектория вычислений содержит число 11 и не содержит числа 20?

Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 112 при исходном числе 5 траектория будет состоять из чисел 6, 7, 14.

Решение.

Для ответа на задачу нужно найти количество программ, которые из 3 получают 11, количество программ, которые из 11 получают 25, не проходя через число 20, и перемножить найденные значения.

 

Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 3 в число n.

 

Верны следующие устверждения:

1. Если n не делится на 2, то тогда R(n) = R(n - 1), так как существует единственный способ получения n из n - 1 — прибавление единицы.

2. Пусть n делится на 2. Тогда R(n) = R(n / 2) + R(n - 1).

 

Теперь можно постепенно вычислить все значения:

 

R(3) = 1

R(5) = R(4) = R(2) + R(3) = 0 + 1 = 1

R(7) = R(6) = R(3) + R(5) = 2

R(9) = R(8) = R(4) + R(7) = 1 + 2 = 3

R(11) = R(10) = R(5) + R(9) = 1 + 3 = 4

 

Заметим, что если число, которое больше 12 (то есть 13, 14, 15, ...), умножить на 2, результат будет больше 25. То есть если в результате работы программы мы получим число, которое больше 12, получить из него 25 можно будет только с помощью операции прибавления. Но так как прибавлять мы можем лишь один, то в процессе прибавлений на траектории попадётся число 20, что запрещено. Поэтому из 11 получить 25 можно только 2 способами: 11→22→23→24→25 и 11→12→24→25.

 

4 программы для получения из числа 3 число 11, 2 программы для получения из числа 11 число 25, всего программ.