Исполнитель Удвоитель преобразует число на экране.
У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:
1. Прибавить 1
2. Умножить на 2
Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на 2. Программа для исполнителя Удвоитель — это последовательность команд.
Сколько существует программ, для которых при исходном числе 3 результатом является число 25 и при этом траектория вычислений содержит число 11 и не содержит числа 20?
Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 112 при исходном числе 5 траектория будет состоять из чисел 6, 7, 14.
Для ответа на задачу нужно найти количество программ, которые из 3 получают 11, количество программ, которые из 11 получают 25, не проходя через число 20, и перемножить найденные значения.
Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 3 в число n.
Верны следующие устверждения:
1. Если n не делится на 2, то тогда R(n) = R(n - 1), так как существует единственный способ получения n из n - 1 — прибавление единицы.
2. Пусть n делится на 2. Тогда R(n) = R(n / 2) + R(n - 1).
Теперь можно постепенно вычислить все значения:
R(3) = 1
R(5) = R(4) = R(2) + R(3) = 0 + 1 = 1
R(7) = R(6) = R(3) + R(5) = 2
R(9) = R(8) = R(4) + R(7) = 1 + 2 = 3
R(11) = R(10) = R(5) + R(9) = 1 + 3 = 4
Заметим, что если число, которое больше 12 (то есть 13, 14, 15, ...), умножить на 2, результат будет больше 25. То есть если в результате работы программы мы получим число, которое больше 12, получить из него 25 можно будет только с помощью операции прибавления. Но так как прибавлять мы можем лишь один, то в процессе прибавлений на траектории попадётся число 20, что запрещено. Поэтому из 11 получить 25 можно только 2 способами: 11→22→23→24→25 и 11→12→24→25.
4 программы для получения из числа 3 число 11, 2 программы для получения из числа 11 число 25, всего 
программ.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x > y or x == 20:
return 0
if x == y:
return 1
else:
return f(x + 1, y) + f(x * 2, y)
print(f(3, 11) * f(11, 25))