У исполнителя Утроитель две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 2,
2. умножь на 3.
Первая из них увеличивает на 2 число на экране, вторая утраивает его. Программа для Утроителя - это последовательность команд. Сколько существует программ, которые число 1 преобразуют в число 49?
Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 1 в число n.
Верны следующие утверждения:
1. Если n не делится на 3, то тогда R(n) = R(n−2), так как существует единственный способ получения n из (n−2) — прибавлением двойки.
2. Пусть n делится на 3. Тогда R(n) = R(n / 3) + R(n − 2).
Достаточно вычислить все значения R(n). Заметим, что R от четного числа всегда равно нулю. R от числа, которое после вычитания 1 не кратно 2, тоже равно нулю.
R(2) = 0,
R(3) = 2 (можно умножить единицу на 3 или прибавить 2 к единице),
R(4) = R(2) = 0,
R(5) = R(3) = 2,
R(6) = R(4) + R(2) = 0,
R(7) = R(5) = 2,
R(8) = R(6) = 0,
R(9) = R(7) + R(3) = 2 + 2 = 4,
...
R(12) = R(10) + R(4) = 0 + 0 = 0,
...
R(15) = R(13) + R(5) = 4 + 2 = 6,
...
R(18) = R(16) + R(6) = 0 + 0 = 0,
...
R(21) = R(19) + R(7) = 6 + 2 = 8,
...
R(24) = R(22) + R(8) = 0 + 0 = 0,
...
R(27) = R(25) + R(9) = 8 + 4 = 12,
...
R(30) = R(28) + R(10) = 0 + 0 = 0,
...
R(33) = R(31) + R(11) = 12 + 4 = 16,
...
R(36) = R(34) + R(12) = 0 + 0 = 0,
...
R(39) = R(37) + R(13) = 16 + 4 = 20,
...
R(42) = R(40) + R(14) = 0 + 0 = 0,
...
R(45) = R(43) + R(15) = 20 + 6 = 26,
...
R(48) = R(46) + R(16) = 0 + 0 = 0,
R(49) = R(47) = 26.
Ответ: 26.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x == y:
return 1
if x > y:
return 0
return f(x + 2, y) + f(x * 3, y)
print(f(1, 49))