Обо­зна­чим R(n)  — ко­ли­че­ство про­грамм, ко­то­рые пре­об­ра­зу­ют число 1 в число n. Обо­зна­чим t(n) наи­боль­шее крат­ное 3, не пре­вос­хо­дя­щее n. За­ме­тим, что чет­ные числа мы никак по­лу­чить не можем.

Обе ко­ман­ды ис­пол­ни­те­ля уве­ли­чи­ва­ют ис­ход­ное число, по­это­му общее ко­ли­че­ство ко­манд в про­грам­ме не может пре­вос­хо­дить (25 - 1) / 2 = 12.

Верны сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния:

1.  Если n не де­лит­ся на 3, то тогда R(n) = R(t(n)), так как су­ще­ству­ет един­ствен­ный спо­соб по­лу­че­ния n из t(n)  — при­бав­ле­ни­ем двоек.

2.  Пусть n де­лит­ся на 3.

Тогда R(n) = R(n / 3) + R(n - 2)= R(n / 3) + R(n - 6) (если n > 6).

При n = 3 R(n)) = 2 (два спо­со­ба: при­бав­ле­ни­ем двоек или од­но­крат­ным умно­же­ни­ем на 3).

По­это­му до­ста­точ­но по­сте­пен­но вы­чис­лить зна­че­ния R(n) для всех чисел, крат­ных 3 и не пре­вос­хо­дя­щих 25: сна­ча­ла вы­чис­ля­ем R(1), затем R(3), R(9) и т. д.

Имеем:

R(1) = 1

R(3) = 2 = R(1) + R(1),

R(9) = R(3) + R(7) = 2 + 2 = 4 = R(11) = R(13),

R(15) = R(5) + R(13) = 2 + 4 = 6 = R(17) = R(19),

R(21) = R(7) + R(19) = 2 + 6 = 8 = R(23) = R(25).

Дру­гая форма ре­ше­ния.

Будем ре­шать по­став­лен­ную за­да­чу по­сле­до­ва­тель­но для чисел 1, 3, 5,..., 25 (то есть для каж­до­го из чисел опре­де­лим, сколь­ко про­грамм ис­пол­ни­те­ля су­ще­ству­ет для его по­лу­че­ния). За­ме­тим, что чётные числа мы никак по­лу­чить не можем. Ко­ли­че­ство про­грамм, ко­то­рые пре­об­ра­зу­ют число 1 в число n, будем обо­зна­чать через R(n). Число 1 у нас уже есть, зна­чит, его можно по­лу­чить с по­мо­щью «пу­стой» про­грам­мы. Любая не­пу­стая про­грам­ма уве­ли­чит ис­ход­ное число, т. е. даст число, боль­ше 1. Зна­чит, R(1) = 1. Для каж­до­го сле­ду­ю­ще­го числа рас­смот­рим, из ка­ко­го числа оно может быть по­лу­че­но за одну ко­ман­ду ис­пол­ни­те­ля. Если число не де­лит­ся на три, то оно может быть по­лу­че­но толь­ко из преды­ду­ще­го с по­мо­щью ко­ман­ды при­бавь 2. Зна­чит, ко­ли­че­ство ис­ко­мых про­грамм для та­ко­го числа равно ко­ли­че­ству про­грамм для преды­ду­ще­го воз­мож­но­го числа:

Если число на 3 де­лит­ся, то ва­ри­ан­тов по­след­ней ко­ман­ды два: при­бавь 2 и умножь на 3, тогда За­пол­ним со­от­вет­ству­ю­щую таб­ли­цу по при­ведённым фор­му­лам слева на­пра­во:

При этом ячей­ки, от­но­ся­щи­е­ся к чис­лам, ко­то­рые не де­лят­ся на 3, можно в ре­ше­нии и опу­стить (за ис­клю­че­ни­ем пер­во­го числа):

Ответ: 8.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние на языке Python.