Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1→x2) ∧ (x2→x3) ∧ (x3→x4) ∧ (x4→x5 ) = 1,
(y1→y2) ∧ (y2→y3) ∧ (y3→y4) ∧ (y4→y5 ) = 1,
(x1 → y1) ∧ (x2→y2) =1.
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Рассмотрим первое уравнение, конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны все её переменные истинны. Импликация ложна только тогда, когда из истины следует ложь. Запишем все переменные x1, x2, x3, x4, x5 по порядку. Тогда, первое уравнение будет верно, если в данной строке справа от единиц нет нулей. То есть подходят строки 11111, 01111, 00111, 00011, 00001, 00000. Аналогичные решения имеет второе уравнение. Первое и второе уравнение не связаны какими-либо переменными, поэтому для системы, состоящей только из двух первых уравнений, каждому набору переменных одного уравнения соответствует 6 наборов переменных другого.
Теперь учтём третье уравнение. Это уравнение не выполняется для таких наборов переменных, в которых x1 = 1, а y1 = 0, либо x2 = 1, а y2 = 0. Это означает, что если записать какой-либо набор переменных x1, x2, x3, x4, x5 над набором переменных y1, y2, y3, y4, y5, то нужно исключить такие наборы, в которых под 1 на первом или втором местах стоят нули. То есть, набору переменных x1, x2, x3, x4, x5 11111 соответствует не 6 наборов y, а только один, а набору 01111 — 2. Таким образом, суммарное число возможных наборов: 1 + 2 + 4 · 6 = 27.
Ответ: 27.