Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1
y5 → x5 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта: x5=1, y5=1; x5=0, y5=0; x5=0, y5=1.
2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна только в случае, если из истинного следует ложное.
3) Уравнение (1) описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их номеров, справа будут нули, а слева — единицы, в y — так же.
4) Рассмотрим вариант x5=1, y5=1. Тогда остальные переменные могут принимать любые значения: всего таких комбинаций 25.
5) Рассмотрим вариант х5=0, у5=0. Тогда все переменные равны 0, следовательно, 1 комбинация.
6) Рассмотрим вариант х5=1, у5=0. Тогда все переменные х равны 0, а переменные у могут принимать любые значения. Всего таких комбинаций 5.
Ответ: 31.