За­пи­шем пер­вое и по­след­нее число в за­дан­ном диа­па­зо­не в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 5: За­пи­шем по по­ряд­ку числа от до

Всего цифра «2» встре­ча­ет­ся 7 раз (два раза в числе 22₅ и по од­но­му разу в чис­лах 20₅, 21₅, 23₅, 24₅ и 32₅).

Сна­ча­ла опре­де­лим за­пись числа 30 в пя­те­рич­ной си­сте­ме. Вы­пи­шем числа, не боль­шие за­пись ко­то­рых в пя­те­рич­ной си­сте­ме на­чи­на­ет­ся на 3: 3, 30, 31, 32, 33, 34.

Пе­ре­ве­дем их в де­ся­тич­ную си­сте­му счис­ле­ния.

Ответ: 3,15,16,17,18,19.

Ре­ше­ние.

Так как число в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 3 кон­ча­ет­ся на ff, то ис­ко­мое число x в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния при де­ле­нии на 3 долж­но да­вать оста­ток f (т. е. y - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число, x - ис­ко­мое число) и част­ное от этого де­ле­ния y также долж­но да­вать оста­ток f при де­ле­нии на 3 (т. е. z - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число). Сле­до­ва­тель­но,

Под­би­рая f и z, най­дем все на­ту­раль­ные ре­ше­ния этого урав­не­ния, не пре­вос­хо­дя­щие 17.

1.  При

2.  При

3.  При

4.  При

5.  При

6.  При

За­ме­тим, что в по­след­нем ва­ри­ан­те ис­ко­мое число боль­ше 17, зна­чит, мы за­кан­чи­ва­ем пе­ре­счет на преды­ду­щем.

Ответ: 4,8,9,13,17.

За­пи­шем число в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 7. Имеем Таким об­ра­зом, в за­пи­си де­ся­тич­но­го числа 357 в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 7 че­ты­ре зна­ча­щие цифры.

Ответ: 4.

Пусть это де­ся­тич­ное число  — x. Тогда

Со­вер­шим пе­ре­вод этого де­ся­тич­но­го числа в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния. Для этого мы долж­ны раз­де­лить его на 2 и за­пи­сать оста­ток, потом част­ное от этого де­ле­ния также раз­де­лить на 2 и за­пи­сать оста­ток, и т. д. То есть, если число де­лит­ся на 2, оста­ток равен 0, со­от­вет­ствен­но, ко­ли­че­ство нолей в конце дво­ич­но­го числа - это ко­ли­че­ство раз, ко­то­рое мы можем раз­де­лить число на 2 без остат­ка.

Чтобы число было ми­ни­маль­ным, будем счи­тать, что y - не­чет­ное. зна­чит, в конце числа будут сто­ять 4 нуля.

Ответ: 4.