РЕШУ ЕГЭ — информатика

Разное

1.  

i

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наибольшего натурального числа А формула

¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 6) → ¬ДЕЛ(x, 4))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Решение. Введём обозначения A  =  ДЕЛ(x, А), P  =  ДЕЛ(x, 6) и Q  =  ДЕЛ(x, 4).

Введём множества:

A  — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A;

P  — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие P;

Q  — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие Q;

истинным для всех X должно быть выражение $\overlineA \to левая круглая скобка P \to \overlineQ правая круглая скобка .$

Упростим это выражение, раскрыв импликацию по правилу $A \to B = \overlineA плюс B:$

$\overlineA \to левая круглая скобка P \to \overlineQ правая круглая скобка = A плюс левая круглая скобка P \to \overlineQ правая круглая скобка = A плюс \overlineP плюс \overlineQ$

из этой формулы видно, что множество A должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством  $\overlineP плюс \overlineQ,$ то есть перекрыть множество $\overline\overlineP плюс \overlineQ = P умножить на Q.$ Множество P · Q  — это множество всех чисел, которые делятся одновременно на 4 и 6 (все числа, кратные 4 и 6), то есть 12, 24, 36 и так далее. (заметим, что 12  — это наименьшее общее кратное чисел 4 и 6). Для того, чтобы перекрыть эти числа, можно выбрать в качестве A любой делитель числа 12, то есть 1, 2, 3, 4, 6 или 12; наибольшее из этих чисел  — 12.

Ответ: 12.

Приведём другое решение на языке Python.

for a in range(100, 0, -1):

k = 0

for x in range(1, 1000):

if (x % a != 0) <= ((x % 6 == 0) <= (x % 4 != 0)):

k += 1

if k == 999:

print(a)

break

2.  

i

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наибольшего натурального числа А формула

(A < 50) ∧ (¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 10) → ¬ДЕЛ(x, 12)))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

3.  

i

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(90, A) ∧ (¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 15) → ¬ДЕЛ(x, 20)))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

4.  

i

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(70, A) ∧ (ДЕЛ(x, 28) → (¬ДЕЛ(x, А) → ¬ДЕЛ(x, 21)))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

5.  

i

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наименьшего натурального числа А формула

ДЕЛ(A, 45) ∧ (ДЕЛ(750, x) → (¬ДЕЛ(A, x) → ¬ДЕЛ(120, x)))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

6.  

i

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, 3) → ¬ДЕЛ(x, 5)) ∨ (x + A ≥ 90)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной x?

7.  

i

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Укажите наименьшее целое значение A, для которого формула

(ДЕЛ(72, x) → ¬ДЕЛ(120, x)) ∨ (A − x > 100)

тождественно истинна при любом натуральном значении переменной x.

8.  

i

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Укажите наименьшее целое значение A, для которого формула

(ДЕЛ(144, x) → ¬ДЕЛ(x, y)) ∨  (x + y > 100) ∨ (A − x > y)

тождественно истинна при любых натуральных значениях переменных x и y.

9.  

i

Обозначим через ТРЕУГ(n, m, k) утверждение «существует треугольник с длинами сторон n, m, k».

Для какого наибольшего натурального числа A формула

¬((ТРЕУГ (х, 11, 16) ≡ (¬(МАКС(x, 5) > 10))) ∧ ТРЕУГ(4, A, x))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Примечание: МАКС(a, b)  =  а, если $a больше b$ и МАКС(a, b)  =  b, если $a меньше или равно b.$

10.  

i

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наибольшего натурального числа А логическое выражение тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x), если B  =  [70, 90]?

ДЕЛ(x, A) ∨ ((x ∈ B) → ¬(ДЕЛ(x, 27))).