На числовой прямой даны два отрезка: Р = [40, 60] и Q = [20, 90]. Выберите такой отрезок А, чтобы формула
((x ∈ P) → (x ∈ A)) ∧ ((x ∈ A) → (x ∈ Q))
была тождественно истинна, то есть принимала значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет меньшую длину.
1) [17, 43]
2) [17, 73]
3) [37, 53]
4) [37, 63]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
(¬P∨A)∧(¬A∨Q)
Логическое И истинно, если истинны оба утверждения. Выражение ¬P истинно тогда, когда x∈(– ∞,40);(60,∞). Следовательно, A должно быть истинно на интервале [40;60]. Выражение Q истинно тогда, когда x∈[20, 90]. Следовательно, ¬A должно быть истинно на интервалах (– ∞,20);(90,∞). Из всех отрезков только отрезок [37;63] удовлетворяет этому условию.
Нужно было указать отрезок имеющий меньшую длину, правильный ответ 3)[37,53]
Включительно до 60 должно быть в ответе.
Здравствуйте! Может быть, я что-то не так поняла, но мне кажется, что ни один из предложенных отрезков не попадает в этот интервал, так как для первого интервала (- бескон.;20) во всех указанных отрезках второе число >20. А для второго интервала (90; бескон.) все первые числа меньше 90.
Спасибо Вам, очень хорошая подборка и понятное объяснения (лучше, чем у Поляова).
Здравтсвуйте.
Рассматриваем (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Из первой скобки мы получили, что A должно быть истинно на интервале [40;60]. С другой стороны, из второй скобки получаем, что ¬A должно быть истинно на интервалах (– ∞,20);(90,∞), следовательно, отрезок А должен принадлежать интервалу [20; 90]. Отрезок, который удовлетворяет этим двум условиям — [37;63].