На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 40], Q = [5, 15] и R = [35, 50]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ ((x ∈ Q)→ (x ∈ R))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [9, 20)
2) [3, 12]
3) [3, 7]
4) [120, 130]
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения:
(x ∈ А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ R) ≡ R.
Применив преобразование импликации, получаем:
(A → P) ∨ (Q → R) = ¬A ∨ P ∨ ¬Q ∨ R.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию P ∨ R = 1 удовлетворяет отрезок [10; 50], условие P ∨ ¬Q ∨ R = 1 истинно на множестве (−∞; 5) ∪ [10; ∞). Поскольку выражение ¬A ∨ P ∨ ¬Q ∨ R должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на полуинтервале [5; 10). Из всех отрезков отрезок [120; 130] удовлетворяет этому условию.
Ответ: 4.