На числовой прямой даны три отрезка: P = [0,20], Q = [10, 25] и R=[35,50]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ ((x ∈ Q)→ (x ∈ R))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [-15,-5]
2) [25, 30]
3) [10,27]
4) [15, 25]
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение.
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ R) ≡ R.
Применив преобразование импликации, получаем:
¬A∨P∨¬Q∨R
P∨¬Q∨R истинно тогда, когда x∈(– ∞,20];(25,∞);[5;15]. Значит, выражение А должно быть истинно на промежутке, не включающем полуинтервал (20;25].
Из всех отрезков только отрезок [-15;-5] удовлетворяет этому условию.
в данном случае выражение P∨¬Q∨R истинно при х∈(– ∞,20];(25,∞) (при х=20 оно истинно!). Значит, выражение А должно быть истинно на промежутке, не включающем полуинтервал (20;25]. Поэтому подходят как ответ 1, так и ответ 4.
У числа 25 стоит квадратная скобка, обратите внимание.