На числовой прямой даны два отрезка: Р = [30, 50] и Q = [10, 70]. Выберите такой отрезок А, чтобы формула
была тождественно истинна, то есть принимала значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет меньшую длину.
1) [27, 33]
2) [27, 53]
3) [7, 33]
4) [7, 53]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
(¬P∨A)∧(¬A∨Q)
Логическое И истинно, если истинны оба утверждения. Выражение ¬P истинно тогда, когда x∈(–∞,30);(50,∞). Следовательно, A должно быть истинно на интервале [30;50]. Выражение Q истинно тогда, когда x∈[10, 70]. Следовательно, ¬A должно быть истинно на интервалах (−∞,10);(70,∞). Таким образом, нам нужен отрезок, который полностью содержится в отрезке [10, 70] и при этом содержит в себе отрезок [30, 50].
Из всех отрезков только отрезок [27;53] удовлетворяет этим условиям.
Правильный ответ указан под номером 2.