При­ведём ре­ше­ние К. Ю. По­ля­ко­ва.

Введём обо­зна­че­ния A = ДЕЛ(x, А), P = ДЕЛ(x, 21) и Q = ДЕЛ(x, 35)

Введём мно­же­ства:

A  — мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие A

P  — мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие P

Q  — мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие Q

Ис­тин­ным для всех X долж­но быть вы­ра­же­ние Упро­стим это вы­ра­же­ние, рас­крыв им­пли­ка­цию по пра­ви­лу

Из этой фор­му­лы видно, что может быть равно 0 (и со­от­вет­ствен­но, A может быть равно толь­ко там, где  таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное мно­же­ство A опре­де­ля­ет­ся как   — мно­же­ство всех чисел, ко­то­рые де­лят­ся на 35 плюс мно­же­ство чисел, ко­то­рые не де­лят­ся на 21. За­ме­тим, что в точ­но­сти такое мно­же­ство A_max нель­зя по­лу­чить с по­мо­щью функ­ции ДЕЛ ни­ка­ким вы­бо­ром A. Итак, нам нужно мно­же­ством A пе­ре­крыть все числа, ко­то­рые де­лят­ся на 35, это можно сде­лать, на­при­мер, вы­брав в ка­че­стве A любой де­ли­тель числа 35 = 5 · 7 в то же время нам нель­зя пе­ре­кры­вать числа, ко­то­рые не де­лят­ся на 35, но де­лят­ся на 21 = 3 · 7 (в этих точ­ках и если будет A = 1, то Пред­по­ло­жим, что мы вы­бра­ли не­ко­то­рое зна­че­ние A; тогда вы­ра­же­ние ложно в точ­ках A · k, где k  — на­ту­раль­ное число, если число A · k де­лит­ся на 21, то есть A · k  =  21 · m при не­ко­то­ром на­ту­раль­ном числе m, то такое число долж­но (для вы­пол­не­ния усло­вия ) де­лить­ся на 35. Рас­кла­ды­ва­ем 21 на про­стые со­мно­жи­те­ли: 21  =  3 · 7; для того, чтобы число A · k  =  3 · 7 · m де­ли­лось на 35, в пра­вой части нужно до­ба­вить со­мно­жи­тель 5, это и есть ис­ко­мое ми­ни­маль­ное зна­че­ние A (во­об­ще го­во­ря, А может быть любым чис­лом, крат­ным 5)

Ответ: 5.

При­ведём вто­рой спо­соб ре­ше­ния:

Введём обо­зна­че­ния A = ДЕЛ(x, А), D₂₁ = ДЕЛ(x, 21), D₃₅ = ДЕЛ(x, 35) и D_N = ДЕЛ(x, N)

Введём мно­же­ства:

A  — мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие A

D₂₁  — мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие D₂₁

D₃₅  — мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие D₃₅

…

За­пи­шем фор­му­лу из усло­вия в наших обо­зна­че­ни­ях Рас­кро­ем им­пли­ка­цию по пра­ви­лу

Чтобы фор­му­ла была тож­де­ствен­но ис­тин­ной не­об­хо­ди­мо, чтобы (т. е. А = 0), когда Тогда наи­боль­шее мно­же­ство А опре­де­ля­ет­ся как Мно­же­ство A_max, точно со­от­вет­ству­ю­щее вы­ра­же­нию с по­мо­щью функ­ции ДЕЛ по­лу­чить не­воз­мож­но. Оче­вид­но, что А_min = D₃₅, т. е. 35  — наи­боль­шее из чисел, со­от­вет­ству­ю­щих усло­вию за­да­чи. Мень­шим может быть де­ли­тель 35, не яв­ля­ю­щий­ся де­ли­те­лем 21. Чтобы де­ли­тель 35 был ре­ше­ни­ем не­об­хо­ди­мо, чтобы ни для од­но­го из чисел, крат­ных ему не вы­пол­ни­лось усло­вие:

Раз­ло­жим 35 и 21 на про­стые мно­жи­те­ли: 35 = 5 · 7, 21 = 3 · 7. 7  — общий де­ли­тель, не может быть ре­ше­ни­ем.

Про­ве­рим 5. Вы­чис­лим «опас­ное» число, при­над­ле­жа­щее мно­же­ству это 5 · 21 = 105, но 105 : 35 = 3 (оста­ток 0), т. е. 105 ∈ D₃₅ и для него зна­чит, 5 со­от­вет­ству­ет усло­вию за­да­чи.

Ответ: 5.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние на языке Python.