За­пи­шем пе­ре­мен­ные в строч­ку: x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇x₈. Им­пли­ка­ция ложна толь­ко в том слу­чае, когда из ис­ти­ны сле­ду­ет ложь. Усло­вие не вы­пол­ня­ет­ся, если в ряду после пары оди­на­ко­вых цифр при­сут­ству­ет дру­гая цифра. На­при­мер, «11101...», что озна­ча­ет не­вы­пол­не­ние вто­ро­го усло­вия.

Рас­смот­рим ком­би­на­ции пе­ре­мен­ных, удо­вле­тво­ря­ю­щие всем усло­ви­ям. Вы­пи­шем ва­ри­ан­ты, при ко­то­рых все цифры че­ре­ду­ют­ся, таких два: 10101010 и 01010101. Те­перь для пер­во­го ва­ри­ан­та, на­чи­ная с конца, будем уве­ли­чи­вать ко­ли­че­ство по­вто­ря­ю­щих­ся под­ряд цифр (на­столь­ко, на­сколь­ко это воз­мож­но). Вы­пи­шем по­лу­чен­ные ком­би­на­ции: «1010 1011; 1010 1111; 1011 1111; 1111 1111; 1010 1000; 1010 0000; 1000 0000; 0000 0000» таких ком­би­на­ций де­вять, вклю­чая ис­ход­ную. Ана­ло­гич­но для вто­ро­го ва­ри­ан­та: «0101 0101; 0101 0100; 0101 0000; 0100 0000; 0000 0000; 0101 0111; 0101 1111; 0111 1111; 1111 1111»  — таких ком­би­на­ций также де­вять. За­ме­тим, что ком­би­на­ции 0000 0000 и 1111 1111 учте­ны два­жды. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем 9 + 9 − 2 = 16 ре­ше­ний.

Ответ: 16.

Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние.

При x₁  =  1 воз­мож­ны два слу­чая: x₂  =  0 и x₂  =  1. В пер­вом слу­чае x₃ = 1. Во вто­ром  — x₃ либо 0, либо 1. При x₁  =  0 также воз­мож­ны два слу­чая: x₂  =  0 и x₂  =  1. В пер­вом слу­чае x₃   либо 0, либо 1. Во вто­ром  — x₃ = 0. Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет 6 ре­ше­ний (см. рис.).

Рас­смот­рим си­сте­му из двух урав­не­ний.

Пусть x₁ = 1. При x₂  =  0 воз­мо­жен лишь один слу­чай: x₃  =  1, пе­ре­мен­ная x₄ = 0. При x₂  =  1 воз­мож­но два слу­чая: x₃  =  0 и x₃  =  1. В пер­вом слу­чае x₄ = 1, во вто­ром  — x₄ либо 0, либо 1. Всего имеем 4 ва­ри­ан­та.

Пусть x₁ = 0. При x₂  =  1 воз­мо­жен лишь один слу­чай: x₃  =  0, пе­ре­мен­ная x₄ = 1. При x₂  =  0 воз­мож­но два слу­чая: x₃  =  0 и x₃  =  1. В пер­вом слу­чае x₄ либо 1, либо 0, во вто­ром  — x₄ = 0. Всего имеем 4 ва­ри­ан­та.

Таким об­ра­зом, си­сте­ма из двух урав­не­ний имеет 4 + 4 = 8 ва­ри­ан­тов (см. рис.).

Си­сте­ма из трёх урав­не­ний будет иметь 10 ре­ше­ний, из четырёх  — 12. От­ри­ца­ние в по­след­нем урав­не­нии дей­ству­ет толь­ко на ком­би­на­цию пе­ре­мен­ных, не свя­зан­ных с с преды­ду­щи­ми урав­не­ни­я­ми. По­это­му, ко­ли­че­ство ре­ше­ний дан­ной в усло­вии си­сте­мы сов­па­да­ет с ко­ли­че­ством ре­ше­ний си­сте­мы из шести од­но­тип­ных урав­не­ний (си­сте­мы, в ко­то­рой в по­след­нем урав­не­нии нет знака от­ри­ца­ния после конъ­юнк­ции), и равно 16.

Ответ: 16.

Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние.

При x₁  =  1 воз­мож­ны два слу­чая: x₂  =  0 и x₂  =  1. В пер­вом слу­чае x₃ = 1. Во вто­ром  — x₃ либо 0, либо 1. При x₁  =  0 также воз­мож­ны два слу­чая: x₂  =  0 и x₂  =  1. В пер­вом слу­чае x₃   либо 0, либо 1. Во вто­ром  — x₃ = 0. Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет 6 ре­ше­ний (см. рис.).

Рас­смот­рим си­сте­му из двух урав­не­ний.

Пусть x₁ = 1. При x₂  =  0 воз­мо­жен лишь один слу­чай: x₃  =  1, пе­ре­мен­ная x₄ = 0. При x₂  =  1 воз­мож­но два слу­чая: x₃  =  0 и x₃  =  1. В пер­вом слу­чае x₄ = 1, во вто­ром  — x₄ либо 0, либо 1. Всего имеем 4 ва­ри­ан­та.

Пусть x₁ = 0. При x₂  =  1 воз­мо­жен лишь один слу­чай: x₃  =  0, пе­ре­мен­ная x₄ = 1. При x₂  =  0 воз­мож­но два слу­чая: x₃  =  0 и x₃  =  1. В пер­вом слу­чае x₄ либо 1, либо 0, во вто­ром  — x₄ = 0. Всего имеем 4 ва­ри­ан­та.

Таким об­ра­зом, си­сте­ма из двух урав­не­ний имеет 4 + 4 = 8 ва­ри­ан­тов (см. рис.).

Си­сте­ма из трёх урав­не­ний будет иметь 10 ре­ше­ний, из четырёх  — 12. Си­сте­ма из семи урав­не­ний будет иметь 18 ре­ше­ний.

Ответ: 18.

Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние.

При x₁  =  1 воз­мож­ны два слу­чая: x₂  =  0 и x₂  =  1. В пер­вом слу­чае x₃ = 1. Во вто­ром  — x₃ либо 0, либо 1. При x₁  =  0 также воз­мож­ны два слу­чая: x₂  =  0 и x₂  =  1. В пер­вом слу­чае x₃   либо 0, либо 1. Во вто­ром  — x₃ = 0. Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет 6 ре­ше­ний (см. рис.).

Рас­смот­рим си­сте­му из двух урав­не­ний.

Пусть x₁ = 1. При x₂  =  0 воз­мо­жен лишь один слу­чай: x₃  =  1, пе­ре­мен­ная x₄ = 0. При x₂  =  1 воз­мож­но два слу­чая: x₃  =  0 и x₃  =  1. В пер­вом слу­чае x₄ = 1, во вто­ром  — x₄ либо 0, либо 1. Всего имеем 4 ва­ри­ан­та.

Пусть x₁ = 0. При x₂  =  1 воз­мо­жен лишь один слу­чай: x₃  =  0, пе­ре­мен­ная x₄ = 1. При x₂  =  0 воз­мож­но два слу­чая: x₃  =  0 и x₃  =  1. В пер­вом слу­чае x₄ либо 1, либо 0, во вто­ром  — x₄ = 0. Всего имеем 4 ва­ри­ан­та.

Таким об­ра­зом, си­сте­ма из двух урав­не­ний имеет 4 + 4 = 8 ва­ри­ан­тов (см. рис.).

Си­сте­ма из трёх урав­не­ний будет иметь 10 ре­ше­ний, из четырёх  — 12. Си­сте­ма из вось­ми урав­не­ний будет иметь 20 ре­ше­ний.

Ответ: 20.

По­стро­им древо ре­ше­ний для пер­во­го урав­не­ния.

Пер­вое урав­не­ние имеет 12 ре­ше­ний. Вто­рое урав­не­ние свя­за­но с пер­вым толь­ко через пе­ре­мен­ные x₃ и x₄. На ос­но­ва­нии древа ре­ше­ний для пер­во­го урав­не­ния вы­пи­шем пары зна­че­ний пе­ре­мен­ных x₃ и x₄, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют пер­во­му урав­не­нию и ука­жем ко­ли­че­ство таких пар зна­че­ний.

По­сколь­ку урав­не­ния иден­тич­ны с точ­но­стью до ин­дек­сов пе­ре­мен­ных, древо ре­ше­ний вто­ро­го урав­не­ния ана­ло­гич­но пер­во­му. Сле­до­ва­тель­но, пара зна­че­ний x₃  =  1 и x₄  =  1 по­рож­да­ет два на­бо­ра пе­ре­мен­ных x₃, ..., x₆, удо­вле­тво­ря­ю­щих вто­ро­му урав­не­нию. По­сколь­ку среди на­бо­ров ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния дан­ных пар че­ты­ре, всего по­лу­ча­ем 4 · 2  =  8 на­бо­ров пе­ре­мен­ных x₁, ..., x₆, удо­вле­тво­ря­ю­щих си­сте­ме из двух урав­не­ний. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но для пары зна­че­ний x₃  =  0 и x₄  =  0, по­лу­ча­ем 8 на­бо­ров пе­ре­мен­ных x₁, ..., x₆. Пара x₃  =  1 и x₄  =  0 по­рож­да­ет че­ты­ре ре­ше­ния вто­ро­го урав­не­ния. По­сколь­ку среди на­бо­ров ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния дан­ных пар две, по­лу­ча­ем 2 · 4  =  8 на­бо­ров пе­ре­мен­ных x₁, ..., x₆, удо­вле­тво­ря­ю­щих си­сте­ме из двух урав­не­ний. Ана­ло­гич­но для x₃  =  0 и x₄  =  1  — 8 на­бо­ров ре­ше­ний. Всего си­сте­ма из двух урав­не­ний имеет 8 + 8 + 8 + 8 = 32 ре­ше­ния.

Про­ве­дя ана­ло­гич­ные рас­суж­де­ния для си­сте­мы из трёх урав­не­ний, по­лу­ча­ем 80 на­бо­ров пе­ре­мен­ных x₁, ..., x₈, удо­вле­тво­ря­ю­щих си­сте­ме. для си­сте­мы из четырёх урав­не­ний су­ще­ству­ет 192 на­бо­ра пе­ре­мен­ных x₁, ..., x₁₀, удо­вле­тво­ря­ю­щих си­сте­ме.

Ответ: 192.