Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, ... x8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
¬(x1 ≡ x2) ∧ ( (x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3) ) = 0
¬(x2 ≡ x3) ∧ ( (x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4) ) = 0
...
¬(x6 ≡ x7) ∧ ( (x6 ∧ ¬x8) ∨ (¬x6 ∧ x8) ) = 0
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x8 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Рассмотрим первое уравнение.
При x1 = 1 возможны два случая: x2 = 0 и x2 = 1. В первом случае x3 = 1. Во втором — x3 либо 0, либо 1. При x1 = 0 также возможны два случая: x2 = 0 и x2 = 1. В первом случае x3 либо 0, либо 1. Во втором — x3 = 0. Таким образом, уравнение имеет 6 решений (см. рис.).
Рассмотрим систему из двух уравнений.
Пусть x1 = 1. При x2 = 0 возможен лишь один случай: x3 = 1, переменная x4 = 0. При x2 = 1 возможно два случая: x3 = 0 и x3 = 1. В первом случае x4 = 1, во втором — x4 либо 0, либо 1. Всего имеем 4 варианта.
Пусть x1 = 0. При x2 = 1 возможен лишь один случай: x3 = 0, переменная x4 = 1. При x2 = 0 возможно два случая: x3 = 0 и x3 = 1. В первом случае x4 либо 1, либо 0, во втором — x4 = 0. Всего имеем 4 варианта.
Таким образом, система из двух уравнений имеет 4 + 4 = 8 вариантов (см. рис.).
Система из трёх уравнений будет иметь 10 решений, из четырёх — 12. Отрицание в последнем уравнении действует только на комбинацию переменных, не связанных с с предыдущими уравнениями. Поэтому, количество решений данной в условии системы совпадает с количеством решений системы из шести однотипных уравнений (системы, в которой в последнем уравнении нет знака отрицания после конъюнкции), и равно 16.
Ответ: 16.