ЕГЭ–2025, информатика: задания, ответы, решения

Тип 20 № 27772 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень меньше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 4).

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 20 или меньше камней.

В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче  — S камней, S > 10.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.

Найдите пять таких значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

—  Петя не может выиграть за один ход;

—  Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.

Решение.

Возможные значения S: 23, 32, 24, 44, 45. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако при S  =  32 Петя может получить позицию (5, 32), при S  =  24  — позицию (9, 24), а при S  =  23, 44 или 45  — позицию (10, 22).

В первом случае после хода Вани возникнет одна из позиций (4, 32), (2, 32), (5, 31), (5, 16), во втором случае  — одна из позиций (8, 24), (4, 24), (9, 23), (9, 12), в третьем случае  — одна из позиций (5, 22), (9, 22), (10, 21), (10, 11). В любой из перечисленных позиций Петя может выиграть, уменьшив вдвое количество камней в большей куче.

Таким образом, ответ  — 2324324445.

Ответ: 2324324445.

Приведём решение на языке Python.

def f(x, y, h):

if h == 4 and x + y <= 20:

return 1

elif h == 4 and x + y > 20:

return 0

elif x + y <= 20 and h < 4:

return 0

else:

if h % 2 != 0:

return f(x - 1, y, h + 1) or f(x, y - 1, h + 1) or f(x // 2, y, h + 1) or f(x, y // 2, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x - 1, y, h + 1) and f(x, y - 1, h + 1) and f(x // 2, y, h + 1) and f(x, y // 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(10, 1000):

if f(x, 10, 1) == 1:

print("Задача 20:", x)

Приведём решение Юрия Лысакова на языке Python.

def game(x,y,h):

if h == 3 and x + y <= 20:

return 1

if h == 3 and x + y > 20:

return 0

if h < 3 and x + y <= 20:

return 0

steps = [game(x - 1, y, h + 1), game(x, y - 1, h + 1), game(x // 2, y, h + 1), game(x, y // 2, h + 1)] #возможные ходы

if h % 2 == 0:

return any(steps) #Стратегия победителя

else:

return all(steps) #Стратегия проигравшего, в случае игры в «поддавки» ставим any вместо all

for x in range(10,1000):

if game(x, 10, 0) == 1:

print(x)

Аналоги к заданию № 27772: 27775 27778 Все

Решение · Помощь

1

Тип 19 № 27771 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень меньше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 4).

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 20 или меньше камней.

В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче  — S камней, S > 10.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Аналоги к заданию № 27771: 27774 27777 Все

Решение · Помощь

2

Тип 21 № 27773 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень меньше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 4).

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 20 или меньше камней.

В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче  — S камней, S > 10.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.

Найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

—  у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

—  у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение.

Такое значение S: 25. После первого хода Пети возможны позиции (9, 25), (5, 25), (10, 24), (10, 12). В позициях (5, 25) и (10, 12) Ваня может выиграть первым ходом, уменьшив вдвое количество камней во второй куче. Из позиций (9, 25) и (10, 24) Ваня может получить позицию (9, 24), в этом случае после хода Пети возникнет одна из позиций (8, 24), (4, 24), (9, 23), (9, 12). В любой из перечисленных позиций Ваня может выиграть, уменьшив вдвое количество камней в большей куче.

Таким образом, ответ  — 25.

Ответ: 25.

Приведём решение на языке Python.

Исключим стратегию Вани, при которой он гарантировано выиграет первым ходом:

def f(x, y, h):

if (h == 3 or h == 5) and x + y <= 20:

return 1

elif h == 5 and x + y > 20:

return 0

elif x + y <= 20 and h < 5:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f(x - 1, y, h + 1) or f(x, y - 1, h + 1) or f(x // 2, y, h + 1) or f(x, y // 2, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x - 1, y, h + 1) and f(x, y - 1, h + 1) and f(x // 2, y, h + 1) and f(x, y // 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

def f1(x, y, h):

if h == 3 and x + y <= 20:

return 1

elif h == 3 and x + y > 20:

return 0

elif x + y <= 20 and h < 3:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f1(x - 1, y, h + 1) or f1(x, y - 1, h + 1) or f1(x // 2, y, h + 1) or f1(x, y // 2, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f1(x - 1, y, h + 1) and f1(x, y - 1, h + 1) and f1(x // 2, y, h + 1) and f1(x, y // 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(10, 100):

if f(x, 10, 1) == 1:

print(x)

print("====")

for x in range(1, 100):

if f1(x, 10, 1) == 1:

print(x)

Приведём решение Юрия Лысакова на языке Python.

def game(x, y, h, h2):

if h > h2:

return 0

if x + y <= 20:

if h == 4 or h == 2:

return 1

else:

return 0

if h % 2 == 1:

return game(x - 1, y, h + 1, h2) or game(x, y - 1, h + 1, h2) or game(x // 2, y, h + 1, h2) or game(x, y // 2, h + 1, h2) #Стратегия победителя

else:

return game(x - 1, y, h + 1, h2) and game(x, y - 1, h + 1, h2) and game(x // 2, y, h + 1, h2) and game(x, y // 2, h + 1, h2) #Стратегия проигравшего, в случае игры в «поддавки» ставим or вместо and

for x in range(11,1000):

if game(x, 10, 0, 4) == 1 and game(x, 10, 0, 2) == 0: # вторая часть условия - требование задачи, о невозможности форсированного выигрыша Вани при его первом ходе

print(x)

Аналоги к заданию № 27773: 27776 27779 Все

Решение · Помощь

Тип 20 № 27775 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5).

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 20 или меньше камней.

В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче  — S камней, S > 10.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.

Найдите пять таких значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

—  Петя не может выиграть за один ход;

—  Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.

Решение.

Возможные значения S: 42, 41, 31, 23, 22. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако при S  =  31 Петя может получить позицию (5, 31), при S  =  23  — позицию (9, 23), при S  =  22  — позицию (10, 21), а при S  =  41 и S  =  42  — позицию (10, 21). В первом случае после хода Вани возникнет одна из позиций (4, 31), (3, 31), (5, 30), (5, 16), во втором случае  — одна из позиций (8, 23), (5, 23), (9, 22), (9, 12), в третьем случае  — одна из позиций (9, 21), (10, 20), (5, 21), (10, 11), в четвёртом и пятом случаях  — одна из позиций (9, 21), (10, 20), (5, 21), (10, 11). В любой из перечисленных позиций Петя может выиграть, уменьшив вдвое количество камней в большей куче.

Таким образом, ответ  — 2223314142.

Ответ: 2223314142.

Приведём другое решение на языке Python.

def f(x, y, h):

if h == 4 and x + y <= 20:

return 1

elif h == 4 and x + y > 20:

return 0

elif x + y <= 20 and h < 4:

return 0

else:

if h % 2 != 0:

return f(x - 1, y, h + 1) or f(x, y - 1, h + 1) or f(x // 2 + x % 2, y, h + 1) or f(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x - 1, y, h + 1) and f(x, y - 1, h + 1) and f(x // 2 + x % 2, y, h + 1) and f(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(10, 1000):

if f(x, 10, 1) == 1:

print("Задача 20:", x)

Аналоги к заданию № 27772: 27775 27778 Все

Решение · Помощь

1

Тип 19 № 27774 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5).

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 20 или меньше камней.

В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче  — S камней, S > 10.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Аналоги к заданию № 27771: 27774 27777 Все

Решение · Помощь

2

Тип 21 № 27776 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5).

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 20 или меньше камней.

В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче  — S камней, S > 10.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.

Найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

—  у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

—  у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение.

Возможное значение S: 24. После первого хода Пети возможны позиции (9, 24), (5, 24), (10, 23), (10, 12). В позициях (5, 24) и (10, 12) Ваня может выиграть первым ходом, уменьшив вдвое количество камней во второй куче. Из позиций (9, 24) и (10, 23) Ваня может получить позицию (9, 23), в этом случае после хода Пети возникнет одна из позиций (8, 23), (5, 23), (9, 22), (9, 12). В любой из перечисленных позиций Ваня может выиграть, уменьшив вдвое количество камней в большей куче.

Таким образом, ответ  — 24.

Ответ: 24.

Примечание.

Заметим, что при уменьшении количества камней в два раза в случае нечетного количества камней остается на один камень больше, чем убирается. Поэтому значение S  =  32 не подходит: в этом случае Петя может получить позицию (9, 32). Возможные ходы Вани:

(9, 16)  — тогда Петя выигрывает ходом (9, 8).

(9, 31)  — тогда Петя делает ход (8, 31).

(8, 32)  — тогда Петя делает ход (7, 32).

(5, 32)  — тогда Петя делает ход (5, 31).

Ни в одой из получившихся позиций Ваня не сможет выиграть следующим ходом.

Приведём другое решение на языке Python.

Исключим стратегию Вани, при которой он гарантировано выиграет первым ходом:

def f(x, y, h):

if (h == 3 or h == 5) and x + y <= 20:

return 1

elif h == 5 and x + y > 20:

return 0

elif x + y <= 20 and h < 5:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f(x - 1, y, h + 1) or f(x, y - 1, h + 1) or f(x // 2 + x % 2, y, h + 1) or f(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x - 1, y, h + 1) and f(x, y - 1, h + 1) and f(x // 2 + x % 2, y, h + 1) and f(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

def f1(x, y, h):

if h == 3 and x + y <= 20:

return 1

elif h == 3 and x + y > 20:

return 0

elif x + y <= 20 and h < 3:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f1(x - 1, y, h + 1) or f1(x, y - 1, h + 1) or f1(x // 2 + x % 2, y, h + 1) or f1(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f1(x - 1, y, h + 1) and f1(x, y - 1, h + 1) and f1(x // 2 + x % 2, y, h + 1) and f1(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(10, 100):

if f(x, 10, 1) == 1:

print(x)

print("====")

for x in range(10, 100):

if f1(x, 10, 1) == 1:

print(x)

Аналоги к заданию № 27773: 27776 27779 Все

Решение · Помощь

Тип 20 № 27778 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5).

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 40 или меньше камней.

В начальный момент в первой куче было 20 камней, во второй куче  — S камней, S > 20.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.

Найдите три наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

—  Петя не может выиграть за один ход;

—  Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.

Решение.

Возможные значения S: 61, 43, 42. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако при S  =  61 Петя может получить позицию (10, 61), при S  =  43  — позицию (19, 43), а при S  =  42  — позицию (20, 41).

В первом случае после хода Вани возникнет одна из позиций (9, 61), (5, 61), (10, 60), (10, 31), во втором случае  — одна из позиций (18, 43), (10, 43), (19, 42), (19, 22), в третьем случае  — одна из позиций (19, 41), (10, 41), (20, 40), (20, 21). В любой из перечисленных позиций Петя может выиграть, уменьшив вдвое количество камней в большей куче.

Таким образом, ответ  — 424361.

Ответ: 424361.

Примечание.

Заметим, что в ответе требуется указать три наименьших значения S.

Приведём другое решение на языке Python.

def f(x, y, h):

if h == 4 and x + y <= 40:

return 1

elif h == 4 and x + y > 40:

return 0

elif x + y <= 40 and h < 4:

return 0

else:

if h % 2 != 0:

return f(x - 1, y, h + 1) or f(x, y - 1, h + 1) or f(x // 2 + x % 2, y, h + 1) or f(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x - 1, y, h + 1) and f(x, y - 1, h + 1) and f(x // 2 + x % 2, y, h + 1) and f(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(20, 1000):

if f(x, 20, 1) == 1:

print("Задача 20:", x)

Аналоги к заданию № 27772: 27775 27778 Все

Решение · Помощь

1

Тип 19 № 27777 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5).

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 40 или меньше камней.

В начальный момент в первой куче было 20 камней, во второй куче  — S камней, S > 20.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Аналоги к заданию № 27771: 27774 27777 Все

Решение · Помощь

2

Тип 21 № 27779 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5).

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 40 или меньше камней.

В начальный момент в первой куче было 20 камней, во второй куче  — S камней, S > 20.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.

Найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

—  у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

—  у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение.

Возможное значение S: 44. После первого хода Пети возможны позиции (19, 44), (10, 44), (20, 43), (20, 22). В позициях (10, 44) и (20, 22) Ваня может выиграть первым ходом, уменьшив вдвое количество камней во второй куче. Из позиций (19, 44) и (20, 43) Ваня может получить позицию (19, 43), в этом случае после хода Пети возникнет одна из позиций (18, 43), (10, 43), (19, 42), (19, 22). В любой из перечисленных позиций Ваня может выиграть, уменьшив вдвое количество камней в большей куче.

Таким образом, ответ  — 44.

Ответ: 44.

Приведём другое решение на языке Python.

Исключим стратегию Вани, при которой он гарантировано выиграет первым ходом:

def f(x, y, h):

if (h == 3 or h == 5) and x + y <= 40:

return 1

elif h == 5 and x + y > 40:

return 0

elif x + y <= 40 and h < 5:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f(x - 1, y, h + 1) or f(x, y - 1, h + 1) or f(x // 2 + x % 2, y, h + 1) or f(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x - 1, y, h + 1) and f(x, y - 1, h + 1) and f(x // 2 + x % 2, y, h + 1) and f(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

def f1(x, y, h):

if h == 3 and x + y <= 40:

return 1

elif h == 3 and x + y > 40:

return 0

elif x + y <= 40 and h < 3:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f1(x - 1, y, h + 1) or f1(x, y - 1, h + 1) or f1(x // 2 + x % 2, y, h + 1) or f1(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f1(x - 1, y, h + 1) and f1(x, y - 1, h + 1) and f1(x // 2 + x % 2, y, h + 1) and f1(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(20, 100):

if f(x, 20, 1) == 1:

print(x)

print("====")

for x in range(20, 100):

if f1(x, 20, 1) == 1:

print(x)

Аналоги к заданию № 27773: 27776 27779 Все

Решение · Помощь