Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится
В начальный момент в первой куче было
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.
Найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Возможное значение S: 24. После первого хода Пети возможны позиции (9, 24), (5, 24), (10, 23), (10, 12). В позициях (5, 24) и (10, 12) Ваня может выиграть первым ходом, уменьшив вдвое количество камней во второй куче. Из позиций (9, 24) и (10, 23) Ваня может получить
Таким образом, ответ — 24.
Ответ: 24.
Примечание.
Заметим, что при уменьшении количества камней в два раза в случае нечетного количества камней остается на один камень больше, чем убирается. Поэтому значение S = 32 не подходит: в этом случае Петя может получить
(9, 16) — тогда Петя выигрывает ходом (9, 8).
(9, 31) — тогда Петя делает ход (8, 31).
(8, 32) — тогда Петя делает ход (7, 32).
(5, 32) — тогда Петя делает ход (5, 31).
Ни в одой из получившихся позиций Ваня не сможет выиграть следующим ходом.
Приведём другое решение на языке Python.
Исключим стратегию Вани, при которой он гарантировано выиграет первым ходом:
def f(x, y, h):
if (h == 3 or h == 5) and x + y <= 20:
return 1
elif h == 5 and x + y > 20:
return 0
elif x + y <= 20 and h < 5:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x - 1, y, h + 1) or f(x, y - 1, h + 1) or f(x // 2 + x % 2, y, h + 1) or f(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x - 1, y, h + 1) and f(x, y - 1, h + 1) and f(x // 2 + x % 2, y, h + 1) and f(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)
def f1(x, y, h):
if h == 3 and x + y <= 20:
return 1
elif h == 3 and x + y > 20:
return 0
elif x + y <= 20 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f1(x - 1, y, h + 1) or f1(x, y - 1, h + 1) or f1(x // 2 + x % 2, y, h + 1) or f1(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f1(x - 1, y, h + 1) and f1(x, y - 1, h + 1) and f1(x // 2 + x % 2, y, h + 1) and f1(x, y // 2 + y % 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)
for x in range(10, 100):
if f(x, 10, 1) == 1:
print(x)
print("====")
for x in range(10, 100):
if f1(x, 10, 1) == 1:
print(x)
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится
В начальный момент в первой куче было
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится
В начальный момент в первой куче было
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными,
Найдите пять таких значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
— Петя не может выиграть за один ход;
— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.