Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится
В начальный момент в первой куче было
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.
Найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Такое значение S: 25. После первого хода Пети возможны позиции (9, 25), (5, 25), (10, 24), (10, 12). В позициях (5, 25) и (10, 12) Ваня может выиграть первым ходом, уменьшив вдвое количество камней во второй куче. Из позиций (9, 25) и (10, 24) Ваня может получить позицию (9, 24), в этом случае после хода Пети возникнет одна из позиций (8, 24), (4, 24), (9, 23), (9, 12). В любой из перечисленных позиций Ваня может выиграть, уменьшив вдвое количество камней в большей куче.
Таким образом, ответ — 25.
Ответ: 25.
Приведём решение на языке Python.
Исключим стратегию Вани, при которой он гарантировано выиграет первым ходом:
def f(x, y, h):
if (h == 3 or h == 5) and x + y <= 20:
return 1
elif h == 5 and x + y > 20:
return 0
elif x + y <= 20 and h < 5:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x - 1, y, h + 1) or f(x, y - 1, h + 1) or f(x // 2, y, h + 1) or f(x, y // 2, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x - 1, y, h + 1) and f(x, y - 1, h + 1) and f(x // 2, y, h + 1) and f(x, y // 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)
def f1(x, y, h):
if h == 3 and x + y <= 20:
return 1
elif h == 3 and x + y > 20:
return 0
elif x + y <= 20 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f1(x - 1, y, h + 1) or f1(x, y - 1, h + 1) or f1(x // 2, y, h + 1) or f1(x, y // 2, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f1(x - 1, y, h + 1) and f1(x, y - 1, h + 1) and f1(x // 2, y, h + 1) and f1(x, y // 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)
for x in range(10, 100):
if f(x, 10, 1) == 1:
print(x)
print("====")
for x in range(1, 100):
if f1(x, 10, 1) == 1:
print(x)
Приведём решение Юрия Лысакова на языке Python.
def game(x, y, h, h2):
if h > h2:
return 0
if x + y <= 20:
if h == 4 or h == 2:
return 1
else:
return 0
if h % 2 == 1:
return game(x - 1, y, h + 1, h2) or game(x, y - 1, h + 1, h2) or game(x // 2, y, h + 1, h2) or game(x, y // 2, h + 1, h2) #Стратегия победителя
else:
return game(x - 1, y, h + 1, h2) and game(x, y - 1, h + 1, h2) and game(x // 2, y, h + 1, h2) and game(x, y // 2, h + 1, h2) #Стратегия проигравшего, в случае игры в «поддавки» ставим or вместо and
for x in range(11,1000):
if game(x, 10, 0, 4) == 1 and game(x, 10, 0, 2) == 0: # вторая часть условия - требование задачи, о невозможности форсированного выигрыша Вани при его первом ходе
print(x)
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень меньше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится
В начальный момент в первой куче было
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится
В начальный момент в первой куче было
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными,
Найдите пять таких значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
— Петя не может выиграть за один ход;
— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.