На числовой прямой даны два отрезка: P = [7, 14] и Q = [9, 11]. Укажите наибольшую возможную длину промежутка A, для которого формула
((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q)) → ¬(x ∈ A)
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Введем обозначения:
(x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A.
Тогда, применив преобразование импликации, получаем:
¬(P ≡ Q) ∨ ¬A ⇔ ¬(P ≡ Q) ∨ ¬A = 1.
Выражение ¬(P ≡ Q) истинно только тогда, когда x ∈ [7; 9) и x ∈ (11; 14] (см. рис.). В таком случае, для того, чтобы выражение было истинно при любом x, A должно лежать либо в промежутке (7; 9], либо [11; 14). Следовательно, наибольшая возможная длина промежутка равна 14 − 11 = 3.
Ответ: 3.
Примечание.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.