Миша заполнял таблицу истинности функции (x ∧ ¬y) ∨ (x ≡ z) ∨ ¬w, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.
| (x ∧ ¬y) ∨ (x ≡ z) ∨ ¬w | ||||
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных w, x, y, z.
В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Функция задана выражением ¬x ∨ y, зависящим от двух переменных, а фрагмент таблицы имеет следующий вид.
| ¬x ∨ y | ||
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
В этом случае первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу — переменная x. В ответе следует написать yx.
Рассмотрим данное выражение. Преобразуем логическое выражение (x ∧ ¬y) ∨ (x ≡ z) ∨ ¬w. и получим систему, при которой оно ложно:
Из первой строки таблицы можно заметить, что переменной w может соответствовать только второй или третий столбцы. Из третьей строки таблицы можно заметить, что этой же переменной могут соответствовать первый, третий или четвёртый столбцы. Отсюда можно заключить, что переменной w соответствует первый столбец.
Предположим, что второй столбец соответствует переменной z, в таком случае из второй строки можно заключить, что четвёртый столбец соответствует переменной x, а третий — переменной y. При таком соответствии не получаем противоречий ни с первой, ни с третьей строками таблицы.
Ответ: wzyx.
Приведем другое решение.
Составим таблицу истинности для выражения (x ∧ ¬y) ∨ (x ≡ z) ∨ ¬w вручную или при помощи языка Python:
print("x y z w")
for x in range(0, 2):
for y in range(0, 2):
for z in range(0, 2):
for w in range(0, 2):
if not((x and not y) or (x == z) or not w):
print(x, y, z, w)
Далее выпишем те наборы переменных, при которых данное выражение равно 0. В наборах переменные запишем в порядке х, y, z, w.
Получим следующие наборы:
(0, 0, 1, 1),
(0, 1, 1, 1),
(1, 1, 0, 1),
Сопоставим эти наборы с приведенным в задании фрагментом таблицы истинности.
Переменная w принимает значение 1 во всех наборах, поэтому переменной w соответствует первый столбец.
Переменная x принимает значение 0 в двух наборах, поэтому переменной x соответствует четвертый столбец.
Заметим, что переменная z принимает значение 0, когда все остальные переменные принимает значение 1. Следовательно, переменной z соответствует второй столбец, а переменной y соответствует третий столбец.