Логическая функция F задаётся выражением (x ∨ y) ∧ ¬(y ≡ z) ∧ ¬w. На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
| Переменная 1 | Переменная 2 | Переменная 3 | Переменная 4 | Функция |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и фрагмент таблицы истинности:
| Переменная 1 | Переменная 2 | Функция |
|---|---|---|
| ??? | ??? | F |
| 0 | 1 | 0 |
Тогда первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.
Рассмотрим данное выражение. Преобразуем логическое выражение (x ∨ y) ∧ ¬(y ≡ z) ∧ ¬w и получим систему, при которой оно истинно:
Значение выражения всегда ложно тогда, когда переменная w равна 1. Следовательно, столбцы, в которых содержится единица, не могут соответствовать переменной w, то есть переменной w соответствует четвёртый столбец.
Значения переменных y и z не могут быть равны. Из второй строки заключаем, что столбец один не может соответствовать переменным y и z. Следовательно, первый столбец соответствует переменной x.
Рассмотрим вторую строку таблицы. Переменная x равна 0, значит, для истинности выражения переменная y должна принимать значение 1. Следовательно, третий столбец соответствует переменной y. Тогда второй столбец соответствует переменной z.
Таким образом, ответ: xzyw.
Ответ: xzyw.
Приведем другое решение.
Составим таблицу истинности для выражения (x ∨ y) ∧ ¬(y ≡ z) ∧ ¬w вручную или при помощи языка Python:
print("x y z w")
for x in range(0, 2):
for y in range(0, 2):
for z in range(0, 2):
for w in range(0, 2):
if (x or y) and not(y == z) and not w:
print(x, y, z, w)
Далее выпишем те наборы переменных, при которых данное выражение равно 1. В наборах переменные запишем в порядке х, y, z, w.
Получим следующие наборы:
(0, 1, 0, 0)
(1, 0, 1, 0)
(1, 1, 0, 0).
Заметим, что во всех наборах переменная w равна 0. Следовательно, ей соответствует четвертый столбец таблицы истинности.
Вторая строка таблицы истинности (ровно одна единица) может соответствовать только набору (0, 1, 0, 0). Следовательно, третий столбец таблицы истинности — это переменная y.
В третьей строке таблицы истинности переменная y принимает нулевое значение. Следовательно, эта строка соответствует набору (1, 0, 1, 0), тогда первая строка соответствует набору (1, 1, 0, 0), в котором единичное значение принимает переменная x. Следовательно, первый столбец таблицы — это переменная x, тогда второй столбец — это переменная z.