Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 2332

Запись числа 180 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 0. Перечислите через запятую в порядке возрастания все возможные основания системы счисления.

Спрятать решение

Решение.

1) Поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то остаток от деления числа 180 на N равен 0, то есть при некотором целом x имеем N умножить на x=180. Cледовательно, основание N – это делитель числа 180 (делителями числа 180 являются числа: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30...

3) C другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть 1000_{n} больше 180 больше или равно 100_{n}, N в степени 3 больше 180 больше или равно N в степени 2 .

4) Начнем выписывать кубы и квадраты делителей, пока квадрат делителя не будет превышать 180:

 2 в степени 2 =4,  3 в степени 2 =9,  4 в степени 2 =16,  5 в степени 2 =25,  6 в степени 2 =36,  9 в степени 2 =81,  10 в степени 2 =100, 12 в степени 2 =144.

 2 в степени 3 =8,  3 в степени 3 =27,  4 в степени 3 =64,  5 в степени 3 =125,  6 в степени 3 =216,  9 в степени 3 =729,  10 в степени 3 =1000, 12 в степени 3 =1728.

5) Видим, что из этого списка все условия выполняются для чисел  N=6, 9, 10, 12.


Аналоги к заданию № 2331: 2332 Все

Раздел кодификатора ФИПИ: 1.4.1 Позиционные системы счисления
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов ·
Илья Багданов 30.03.2016 20:48

Почему взяты именно 6, 9, 10, 12? Почему не дописали остальные делители?

Никита Горохов

Следующий делитель в порядке возрастания − 15. А для N больше или равно 15 неравенство N в степени 3 больше 180 больше или равно N в степени 2 не имеет решений.