Число 338 со­дер­жит три цифры. Сле­до­ва­тель­но, N² < 338, а N³ > 338. От­ку­да по­лу­ча­ем, что 7 ≤ N ≤ 18. По­сле­до­ва­тель­но про­ве­ряя ос­но­ва­ния си­стем счис­ле­ния от боль­ше­го к мень­ше­му, по­лу­ча­ем, что наи­боль­шее ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию за­да­чи, равно 16.

Ответ: 16.

1)  По­сколь­ку за­пись в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем N за­кан­чи­ва­ет­ся на 0, то оста­ток от де­ле­ния числа 180 на N равен 0, то есть при не­ко­то­ром целом x имеем Cле­до­ва­тель­но, ос­но­ва­ние N – это де­ли­тель числа 180 (де­ли­те­ля­ми числа 180 яв­ля­ют­ся числа: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30...

3)  C дру­гой сто­ро­ны, за­пись числа со­дер­жит 3 цифры, то есть

4)  Нач­нем вы­пи­сы­вать кубы и квад­ра­ты де­ли­те­лей, пока квад­рат де­ли­те­ля не будет пре­вы­шать 180:

5)  Видим, что из этого спис­ка все усло­вия вы­пол­ня­ют­ся для чисел