Запись числа 180 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 0. Перечислите через запятую в порядке возрастания все возможные основания системы счисления.
Решение.1) Поскольку запись в системе счисления с основанием
заканчивается на 0, то остаток от деления числа 180 на N равен 0, то есть при некотором целом
имеем
Cледовательно, основание
– это делитель числа 180 (делителями числа 180 являются числа: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30...
3) C другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть
4) Начнем выписывать кубы и квадраты делителей, пока квадрат делителя не будет превышать 180:


5) Видим, что из этого списка все условия выполняются для чисел
.
Ответ: 6, 9, 10, 12
Почему взяты именно 6, 9, 10, 12? Почему не дописали остальные делители?
Следующий делитель в порядке возрастания − 15. А для
неравенство
не имеет решений.